Chapitre quelques notions fondamentales 8








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titreChapitre quelques notions fondamentales 8
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C. Des espaces particuliers.
En " 3- dimensions ":

- l'espace de la classe

- la portion d'espace que je vois

- la portion d'espace qui m'est accessible

- les espaces de jeux , de travail ...

- la trilogie terre-mer-air

-

En " 2- dimensions " :

- le plan

- des portions de surfaces

- l 'espace graphique (ma feuille,...)

-
En " 1- dimension " :

- les lignes

-
II. L'espace des objets :
a. Plusieurs classifications de ces objets sont possibles.

. classifications liées à nos perceptions visuelles, motrices, tactiles...

(couleurs, formes, taille, masse.......)

. classifications liées aux "fonctions" , aux utilisations des objets.

( animaux, objets comestibles....)

.
b. Plusieurs opérations sur ces objets sont possibles.

. manipuler, déplacer, jeter, utiliser...

. observer,....

. agencer,.....

. représenter, décrire, dessiner...

. construire, reconstruire, fabriquer, transformer...

. classer, trier, ranger, organiser, structurer, ordonner, empiler,....

. mesurer,..., repérer....
LES FORMES
Ce concept est fondamental car présent dans tout ce qui nous accessible par la vue et le toucher. Il est pré­sent dans la nature du ni­veau macroscopique au niveau microscopique (galaxies, plantes, mollusques,... cristaux, ...) ainsi que dans les objets crées par l'homme.

La forme est un attribut (une propriété) des "objets”. Les difficultés proviennent de la grande variété des formes et de l'ambiguïté des "objets”. Les objets sur lesquels on travaille sont toujours quelque part entre "les objets réels” , "les objets géométriques", "les objets représentés" et les "objets mathéma­tiques".

Concept qui est assez difficile à mettre en évidence car présent avec d'autres attributs non essentiels. Il est important de bien choi­sir les objets d'étude afin de bien le mettre en évidence.


Quelques essais de classification des formes.
I. Une classification "dimensionnelle" des formes géométriques.

on distinguera

a. Les formes de dimension 3 ( les solides)

b. Les formes de dimension 2 ( les surfaces)

c. Les formes de dimension 1 ( les lignes)

Il ne faudra pas oublier que des objets de dimension 1 peuvent être plongés dans des espaces de dimension 2 ou 3 , et que des objets de dimension 2 peuvent être plongés dans un espace de dimension 3.

Une sous-classification importante:
II. La classification algébrique des formes géométriques.

Elle résulte de la définition de la relation d'équivalence R suivante sur un univers de formes

Étant donnés :
un ensemble de formes E et un groupe de transformations géométriques (G , o )

F R F' si et seulement si f C ( H, o ) f ( F ) = F'

Si le groupe est :

A - L'ensemble des Homéomorphismes alors les formes seront classées selon des critères topologiques.

B - L'ensemble des Projectivités alors les formes seront classées selon des critères projectifs.

C - L'ensemble des Affinités alors les formes seront classées selon des critères affines.

D - L'ensemble des Similitudes alors les formes seront classées selon des critères semblables.

E - L'ensemble des Isométries alors les formes seront classées selon des critères métriques.

---> Les groupes sont indiqués des plus généraux au plus particuliers.

---> D'après Piaget ce sont les rapports topologiques qui sont d'abord perçus par l'enfant, puis les rap­ports projectifs et enfin les rapports métriques.
III. Des familles de transformations

A. Les homéomorphismes.

La topologie combinatoire étudie les propriétés de l'espace qui sont invariantes par des transformations bijectives et biconti­nues (ces transformations sont appelées des homéomorphismes).

On parle parfois de la géométrie de la pâte à modeler, de la membrane de caoutchouc ou de l'élastique.

Une expérience : Sur une membrane de caoutchouc traçons une courbe fermée. Étirons, déformons sans dé­chi­rer. Que remarque-t-on ?

. Cette transformation "conserve" :

- l'ordre des points de la courbe. - la fermeture des lignes et surfaces

- l'intérieur et l'extérieur. - l'inclusion

- la séparation des points, lignes ou domaines. - la continuité

- le voisinage des points, lignes ou domaines. - l'appartenance

- la tangence - ...

. Par contre les distances ne sont pas conservées, les angles varient, les notions d'orthogonalité et de pa­ral­lélisme sont sans intérêt .....
B. Les projectivités.

On distingue deux familles de projections sur un plan :

- les projections coniques ( appelées aussi centrales ou perspectives)

- les projections cylindriques ( appelées encore parallèles)
o Quelques propriétés invariantes dans les projections coniques:

- l'alignement est conservé ( notion de droite)

- le birapport de 4 points est conservé. ( Et donc aussi les divisions harmoniques)...

o Quelques propriétés invariantes dans les projections cylindriques:

- l'alignement est conservé ( notion de droite)

- le parallélisme est conservé

- les proportions sont conservées ( Soient A , B et C trois points alignés. Les rapports AB/BC ,

AB/AC ... sont conservés) ...

Ces notions sont importantes car :

- notre système de vision fonctionne approximativement comme un système de projection conique.

- l'observation des " ombres au soleil " nous donne une idée des projections cylindriques.

- les travaux sur des représentations planes ( images, photos , plans ) font appel à ces projec­tions.
C. Les affinités.
Elles sont peu étudiées à l'école primaire.
D. Les similitudes.
A l'école primaire c'est selon des critères de similitude que l'on travaille le plus souvent.
E. Les isométries.
Rappelons les noms des isométries du plan:

- les translations de vecteur U - les rotations de centre O et d'angle A

- les symétries par rapport à une droite D - les symétries-translations

- l'identité

Toute isométrie est de l'un de ces types ou peut être exprimées comme composition de certaines d'entre elles.

Lorsque deux figures F et F' se correspondent par une isométrie on parle de figures égales ou superpo­sables.

Faits remarquables :

- il n'y a que 7 types de frises et 17 types de pavages mais une infinité de rosaces.

- certaines isométries change l'orientation.
. Une sous-classification importante selon les éléments de symétrie.
Le monde qui nous entoure est peuplé "d'objets" présentant des "éléments de symétrie".

- symétrie/droite , symétrie/point , axes de répétitions.

Il s'agira pour les maîtres de développer au cours de la scolarité cette connaissance des régularités

c'est à dire de :

a. sensibiliser les enfants à ces propriétés des formes.

b. lui permettre de créer des objets présentant des régularités.
La sensibilisation commence dès l'école maternelle. Les premières images de symétrie que rencon­trent les enfants sont re­latives au corps humain. Dès ses premiers gribouillages par lesquels il tente de re­présenter une personne, les caractéristiques de la symétrie corporelle apparaissent. Il y a dessin natu­rel de symétries dans ses dessins et constructions.
Une série d'activités :
1. Classer des cartons sur lesquels figurent des formes planes présentant 1, 2, 3... axes de symétrie.

2. Donner un matériel qui permettent de construire facilement des figures à 1, 2 , ou 3 axes de symétrie.
- distribuer une famille de gabarits. - collages

- tracés sur géoplan - puzzles à reconstituer

- tampons ...

3. Des figures sont tracées sur du papier non quadrillé, faire tracer les axes de symétrie, indiquer les centres de symétrie.
4. Présenter et faire utiliser diverses méthodes de construction de figures à 1 ou 2 ou plusieurs axes de symétrie.

- tâche d'encre - utilisation du papier calque

- piquage - pliage , découpage

- miroir - tracé libre

- repérage
5. Utilisation de l'ordinateur:

De petits logiciels existent et peuvent servir à créer des figures présentant des éléments de symétrie.

- Frises - Caractor - Grilles - Dessine

V. Etude des formes à l'école.
Quelques objectifs généraux pour l'étude des FORMES :

1. Prise de conscience du concept FORME de la grande variété des exemples.

2.Classification des formes (les placer dans diverses catégories) et dénominations.

3. Structuration des catégories ainsi formées.

4. Construction-reproduction des formes :

. donner peu de contraintes ( créativité …)

. donner de fortes contraintes ( algorithmes de construction…)
La réussite nécessite des savoirs et des savoir-faire des méthodes utilisées et d'autres qualités telles que soin, précision...

Reconnaître une forme c'est la classer dans une certaine catégorie (elle-même repérée par un MOT) . Alors la forme reçoit le nom de la catégorie. Ambiguïtés car il y en général plusieurs catégories d'appartenance (de plus générale et de plus particulières).

Pour réussir la reconnaissance de la forme il faut :

- connaître les attributs essentiels ( et ceux non-essentiels).

- pouvoir vérifier s'ils sont présents ou non.
LES REPERES
I. Repères des Espaces

L'espace habituel (de dimension 3) est muni :

- d'une direction fondamentale : la verticale

- de plans horizontaux

- de "plans inclinés"

Ces éléments sont perçus de façon motrice et visuelle.

- de deux orientations (dextrogyre et androgyre)

Les repères spéciaux:

- les directions ( les points cardinaux N, S, E , O )

- le soleil, la lune ...

-

II. Les repères des “objets" (animés et inanimés)

Les objets dans l'espace possèdent ou non des repères :
L'homme
Des plans et axes fondamentaux

- Les trois plans antropomorphiques fondamentaux :

Plans qui vont permettre le repérage du moi par rapport aux objets et des objets par rapport au moi :

. le plan frontal

. le plan fixe sagittal

. le plan mobile horizontal

- Les huit régions déterminées par ces plans

. haute, basse, droite, gauche, devant, derrière, ...

- Les trois directions et des six sens déterminés par les intersections des plans.
Les animaux

Des repères leurs sont attachés.
Autres objets

Certains sont munis de repères de façon permanente ou occasionnelle de manière floue ou non, partielle­ment ou non.

Disons qu'il existe des structurations :

- par projection (translation, rotation, réflexion) de son schéma corporel

- propres liées en général par la forme et/ou l'usage

D'autres objets ne sont pas structurés.

Les repères peuvent être liés à l'objet ou non

o un caillou : le contact indique le bas...

o une bouteille : la forme indique le haut , l' étiquette indique l'avant...

o une chaise : le dossier indique l'arrière,...

o une feuille de papier : ...

o ...
L'apprentissage du vocabulaire spatial est souvent perturbé par l'utilisation de situations mal choisies avec des objets orientés , non orientés , à orientation changeante.
Activité privilégiée qui permet d'aborder de nombreux concepts mathématiques.

Les parcours peuvent être associés à des activités motrices ; ils mettent en oeuvre la notion de codage-déco­dage, de règle, de confi­guration, ... et des notions métriques, topologiques et projectives.
Deux classifications importantes.

- classer selon la dimension de l'espace sous-jacent

- classer selon le critère : parcours libres ou avec contraintes

Activités sur quadrillages divers, labyrinthes...
LE TEMPS
Le "TEMPS" est une composante indispensable et toujours présente dans notre vie, nos actions et nos en­vi­ronnements. Il s'agira d'exploiter les innombrables occasions qui se présentent pour aider les enfants à dé­couvrir cette autre dimension de notre espace qu'est le TEMPS.
I. Placer des "événements-repères" sur l'échelle du TEMPS.

a. La notion d'événement
II. Situer et se situer par rapport à ces "événements-repères".

a. Simultanéité de deux ou plusieurs événements.

b. Position par rapport à un ou deux événements.

c. Découverte et utilisation du "système - standard".
III. Familiarisation avec le concept de durée et sa mesure.

a. Notion de durée.

b. Durée réelle et durée vécue.

c. Mesure de durées.

On arrivera à placer les événements-repères (et à les représenter de manière symbolique sur un axe des temps) en utilisant:
a) les événements qui "marquent les enfants"

- une sortie

- les fêtes religieuses (Noël, Pâques, ...)

- un anniversaire

- fête des Mères ...

-

b) Les événements "courants"
- déroulement de la journée - les saisons

- les jours de la semaine - le matin , le soir...

- le lever et le coucher du soleil - les mois de l'année
c) Les événements "artificiels"
- histoire en images - préparation d'un gâteau

- arrivée d'une course -
. ce sont presque toujours les "pratiques" associées aux événements qui sont mémorisées
- Noël ( arbre de Noël , cadeaux...) -

- Pâques (lièvre de Pâques, oeufs, ....) - La Chandeleur ( crêpes...)
. des attributs permettant la classification des événements
- fréquents, occasionnels, exceptionnels, ponctuels ou non, cycliques....

- passé, présent , futur
. dans certaines situations le TEMPS sera associé à d'autres grandeurs ( VITESSE - ESPACE..)
. les événements cités et les activités qui en résultent ont pour but la compréhension de l'ordre

chronologique, ce n'est pas encore la notion de durée.
. remettre dans l'ordre chronologique une série d'événements est très formateur si l'activité est

associée à la verbalisation.
. le temps s'écoule de façon REGULIERE ( nous ne le percevons pas toujours ainsi ) et dans un

 cer­tain SENS ( hélas).
. le PASSE est unique , mais le PRESENT et le FUTUR sont multiples ( choix...) et permettent donc

l'anticipation. ( le jeu est une activité ou le choix et l'anticipation interviennent )
. il est important de garder trace des événements (tenir un Cahier de Vie )
. la durée apparaît comme un intervalle de temps ( la distance entre deux événements , deux

mo­ments.
. la durée vécue nous apparaît différente de la durée réelle.
.Il est important que l'enfant comprenne que :

les événements sont repérés à l'aide:

- d'un système standard : le calendrier

- et d'instruments : montre , .....

les durées sont mesurées à l'aide :

- d'instruments divers:

. montre, chronomètre, sablier, bougie graduée, minuterie...

exprimées par :

- le vocabulaire (mot, verbes, expressions)

. avant , après, pendant, en même temps, simultanément, demain, aujourd'hui, hier....

prochainement, maintenant, plus tard, il y a longtemps, durer, attendre, ...dans le temps,

jadis..

- le temps des verbes utilisés:

. le passé, le présent de l'indicatif , le futur simple...
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