Partie theorique : définitions des concepts utilisés au sein de ce mémoire professionnel 5








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III] Qu’est-ce que l’abstraction ?



L’abstraction est un processus majeur qui participe à la construction des connaissances.

Jean Piaget considère deux types d’abstraction :

- l’abstraction simple, porte sur les objets physiques. Par exemple dans le concept de densité, l’abstraction permet de se rendre compte qu’un objet volumineux peut parfois être plus léger qu’un objet moins volumineux.

- l’abstraction réfléchissante, vient des actions du sujet sur l’objet. Cette abstraction se déroule selon Piaget, en deux étapes. D’abord le réfléchissement qui introduit des représentations d’un niveau supérieur à celui qui régulait l’activité avant cette abstraction. Puis une réflexion qui organise ces nouvelles représentations. Par exemple, lorsqu’un élève peut découvrir que le nombre de billes n’est pas dépendant de sa mise en espace (en ligne, en cercles…). Cette connaissance est donc abstraite de l’action effectuée sur l’objet. Dans une activité d’acquisition de l’abstraction par rapport à l’action réelle effectué sur l’objet, l’enseignant selon Britt-Mari Barth a principalement deux tâches : « la structuration de la leçon et l’interaction avec les élèves »20. Cette ‘leçon’ contient la dénomination, les attributs essentiels et les exemples du concept travaillé. Les élèves doivent essayer de trouver l’idée, le concept de la séance. Pour ce faire l’enseignant donne des exemples contenant ou ne contenant pas les attributs essentiels de cette idée, de ce concept. Lorsque les attributs essentiels sont contenus dans l’exemple, on parle d’exemples positifs, s’ils n’y sont pas, nous les appelons des exemples négatifs.

B-M. Barth considère les premiers exemples comme cruciaux. En premier lieu l’exemple positif initial : «Le premier exemple positif est le plus important car il va servir à formuler l’hypothèse du travail. Il doit être sans ambiguïté, clairement contenir tous les attributs essentiels et ne pas être encombré de trop d’attributs non essentiels. »21. Il faut donc penser à simplifier le plus possible le premier et j’ajouterais même le deuxième exemple positif, afin que les attributs essentiels ressortent le plus possible. Le deuxième exemple positif permet à l’élève de progresser rapidement et d’éviter de s’égarer : « Le premier exemple positif est le plus important car il va servir à formuler l’hypothèse du travail. Il doit être sans ambiguïté, clairement contenir tous les attributs essentiels et ne pas être encombré de trop d’attributs non essentiels. »22, puis vient le premier exemple négatif. Ainsi, grâce à plusieurs exemples, l’élève va discerner les attributs, effectuer des recoupements, des regroupements, afin de déterminer les éléments importants, de structurer sa penser, de sélectionner ce qu’il retient. Toutes ces opérations mentales de l’élève lui permettent de construire un processus d’abstraction afin d’élaborer sa ‘structure cognitive’. Ce dernier terme vient de «Bruner [qui] appelle ‘structure cognitive’ ; […], l’organisation de toutes les connaissances acquises d’un individu.»23. On comprend bien ici que l’enseignant n’a pas pour priorité d’exposer des connaissances, mais d’aider l’élève à structurer ses connaissances, à les élaborer, afin qu’elles prennent du sens pour lui. Pour B.-M. Barth, aujourd’hui l’enseignement va dans le sens de l’autonomie de l’élève en lui transmettant des outils lui permettant le transfert : « Ce qui est nouveau, c’est d’admettre que la façon dont on apprend est plus formatrice que ce qu’on apprend et donc de systématiquement enseigner « des façons d’apprendre » susceptibles d’être réinvesties dans tout apprentissage. C’est une idée forte […] la volonté de transmettre des outils intellectuels aussi bien que des connaissances […] soient utilisables dans quelque domaine que ce soit et à tout moment. ».24


IV] Qu’est-ce que la géométrie en mathématiques ?



Avant de commencer par un petit historique de l’évolution de l’enseignement de la géométrie, je voudrais souligner que le propre des mathématiques et surtout de la géométrie est de se détacher des objets, de la manipulation de ceux-ci afin d’atteindre l’abstraction, et le raisonnement des représentations mentales. Ce que les professeurs et chercheurs de la commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques relateront par : « Notre souci principal est que l’enseignement de la géométrie permette de former des élèves aux têtes bien faites, qui deviennent des citoyens capables de réfléchir et de comprendre et qui soient ainsi armés pour affronter les difficultés du monde qui nous entoure. ».25 En 1887, les Instructions Officielles font de la géométrie une leçon de choses, il n’est question de géométrie qu’à partir de 7 ans. Alors que l’arithmétique et les quatre opérations sur les nombres à deux chiffres sont dans les IO dès la section enfantine. Pendant une cinquantaine d’année, les IO parlent d’une ‘géométrie concrète’, c’est-à-dire qu’en utilisant les instruments de mesure (règles, équerre, compas,…), les élèves devraient par l’intermédiaire de leur intuition acquérir les notions de point, ligne, surface, volume… La géométrie jusqu’aux années 60, a une part importante dans les programmes, puisque par exemple elle représente environ, 40% du programme de mathématiques dans l’enseignement secondaire. Puis, dans les années 80, les mathématiques ont été centrées sur l’activité de résolution de problèmes, car on a donné une importance au sens, à la justification et à la méthode employée pour résoudre les problèmes. Enfin, aujourd’hui, les programmes de 2002 semblent accorder une place moins grande au domaine de la géométrie.

La géométrie pour Deledicq (2000), est une « usine à images », « c’est-à-dire qu’elle procède d’abord de la construction de l’espace et donne à voir ses objets dans l’intuition. ».26
D’après « l’enseignement des sciences mathématiques » rapport de la commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques sous la direction de Jean-Pierre Kahane (2002)27, il existe quatre raisons d’enseigner la géométrie :

La première raison est de s’approprier ‘la vision de l’espace’, car nous tous humains, avons le droit d’avoir une perception efficace de l’espace qui nous entoure.

La deuxième raison est l’apprentissage du raisonnement. Le fait de pouvoir observer les figures, aide à la mise en place du raisonnement géométrique. Et ce raisonnement pourra être transféré dans les autres disciplines.

La troisième raison est en rapport avec l’esthétisme et la culture. La géométrie prend ses racines dans l’Antiquité, elle est une partie intégrante de l’humanité et de sa culture. De plus, elle joue un rôle important au niveau de l’éducation esthétique par l’intermédiaire des arts plastiques, de l’architecture, de l’urbanisme.

La quatrième raison est l’utilité de la géométrie dans la vie courante : utilité dans de nombreux métiers (ex : dans la charpenterie, la géométrie du triangle, pour les architectes, la géométrie par rapport aux dessins de plans, pour les jardiniers par exemple pour le tracé de massifs de fleurs elliptiques, pour les informaticiens qui se servent de logiciels de dessins).
Nous venons de voir, qu’il existe quatre raisons d’enseigner la géométrie. Maintenant nous allons nous intéresser à son apprentissage à l’école primaire. La géométrie à l’école primaire renvoie à deux champs de connaissances qui sont pour le premier « les connaissances spatiales qui permettent à chacun de contrôler ses rapports à l’espace environnant ;»28 et le deuxième champ de connaissances se rapporte aux « connaissances géométriques qui permettent de résoudre des problèmes portant sur des objets situés dans l’espace physique ou dans l’espace graphique »29 .
Selon Liliane Lurçat, la construction de l’espace ne se fait pas successivement par les trois étapes (espace topologique, espace projectif, espace euclidien) de Piaget. Elle conçoit l’espace représentatif en liaison avec l’espace sensori-moteur. C’est-à-dire que l’enfant vit au quotidien dans un espace dont il se construit des représentations.30 L’évolution des représentations des enfants est due au progrès de la fonction symbolique, aidé du langage. Liliane Lurçat pense que les enfants conceptualisent très tôt ; puisqu’ils sont capables de décrire ce qu’ils voient, qu’ils ont très tôt la notion de verticalité et d’horizontalité, qu’ils ont la notion de distance (espace euclidien) très jeune dans l’enfance, tout au moins dès qu’ils acquièrent la préhension d’un objet. Il existe bien sûr une autre approche de la construction de l’espace, celle de Brousseau et de Galvez. Pour eux, il existe un paramètre important qui est la taille de l’espace en interaction avec le sujet. Suivant la taille de cet espace, des modèles conceptuels différents se mettent en place. Ils définissent trois types d’espace :

- le micro-espace (il est lié à la manipulation de petits objets),

- le méso-espace (c’est l’espace des déplacements du sujet contrôlable par la vue de ce dernier, c’est-à- dire entre 0,5 et 50 fois la taille du sujet),

- le macro-espace (c’est l’espace urbain, le sujet est a l’intérieur de cet espace, il ne peut l’appréhender en une seule fois, il doit donc par la représentation mentale construire une vision globale de l’espace qui l’entoure.
Je pense que cette dernière approche complète les approches précédentes. Ma formation et mon expérience m’incitent à trouver l’approche de Liliane Lurçat plus proche de la réalité. C’est-à-dire que l’enfant apprend l’espace en l’explorant, en le parcourant, en le pratiquant, en observant le déplacement des autres dans ce même espace, et en anticipant ses propres mouvements dans cet espace. Cette démarche semble effectivement en contradiction avec l’approche de Piaget qui voit la construction de l’espace en trois étapes, toutefois ces trois étapes ont bien lieu, mais peut-être pas avec la notion de temps que leur a donné leur auteur.
Il ne faut pas oublier que chaque enfant dispose de connaissances spatiales en arrivant à l’école, avant même qu’on lui propose des connaissances de géométrie. Dans les programmes de l’enseignement élémentaire, au cycle 1, nous parlons de structuration de l’espace, au cycle II et III le domaine espace et géométrie concerne :

  1. au cycle II : repérage et orientation et au cycle III : repérage, utilisation de plans, de cartes

  2. Relations et propriétés. Pour le cycle II : alignement de points, angle droit, axe de symétrie d’une figure, égalité de longueurs Pour le cycle III : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale ;

  3. Au cycle II : figures planes, . Au cycle III : figures planes : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral ou régulier, carré, rectangle, losange, cercle ;

  4. Solides. Pour le cycle II : cube, pavé droit et pour le cycle III : cube, parallélépipède rectangle

  5. Au cycle III uniquement : agrandissement et réduction.

Il y a donc beaucoup d’acquis scolaires en géométrie au cycle II et III, qui se construisent d’autant mieux que les acquis antérieurs de l’élève sont déjà installés harmonieusement.
En conclusion, la géométrie au sein des mathématiques illustre son utilité formatrice. La commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques répond positivement à la question : faut-il encore enseigner la géométrie ?

Les collègues des autres disciplines estiment par ailleurs que les mathématiques concourent à la formation de l’esprit, qu’«elles sont la logique cartésienne en action. Elles articulent de manière originale mémoire et raisonnement ,imagination et rigueur. ».31


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