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1. Calcul des propositions et des prÉdicats


L’objectif est d’introduire quelques éléments de logique en liaison avec l’enseignement de l’informatique. Il s’agit d’une brève étude destinée à familiariser les élèves à une pratique élémentaire du calcul portant sur des énoncés.


  1. Calcul propositionnel

Proposition, valeur de vérité

Connecteurs logiques :

négation (non P, P,),

conjonction (P et Q, PQ),

disjonction (P ou Q, PQ),

implication, équivalence.

On dégagera les propriétés fondamentales des opérations ainsi introduites, de manière à déboucher ensuite sur un exemple d’algèbre de Boole.

  1. Calcul des prédicats

Variable, constante

Quantificateurs , .

Négation de x, p(x) ; négation de x, p(x).

On se limitera à des cas simples de prédicats portant sur une, deux ou trois variables.

On signalera l’importance de l’ordre dans lequel

deux quantificateurs interviennent.

2. Langage ensembliste


Sans développer une théorie générale des ensembles, l’objectif est de consolider et de prolonger les acquis des élèves sur les ensembles en liaison avec l’enseignement de l’informatique.


Ensemble, appartenance, inclusion.

Ensemble P (E) des parties d’un ensemble E.

Complémentaire d’une partie, intersection et réunion de deux parties.

Les éléments x d’un ensemble E satisfaisant à une relation p(x) constituent une partie de E.

On dégagera les propriétés fondamentales des opérations ainsi introduites, de manière à déboucher ensuite sur un exemple d’algèbre de Boole.
Cela permet d’interpréter en termes ensemblistes l’implication, la conjonction et la disjonction de deux relations, ainsi que la négation d’une relation.

3. Calcul boolÉen


Cette brève étude est à mener en coordination étroite avec l’enseignement de l’informatique. Il convient d’introduire la notion d’algèbre de Boole à partir des deux exemples précédents. Il s’agit essentiellement d’effectuer des calculs permettant de simplifier des expressions booléennes.


Définition d’une algèbre de Boole.

Propriétés des opérations, lois de Morgan.

On adoptera les notations usuelles , a + b, ab.


Travaux pratiques

1° Exemples simples de calculs portant sur des

énoncés.

On se limitera à des cas simples où l’utilisation des tables de vérité ou de propriétés élémentaires permet de conclure sans excès de technicité.

2° Traduire une instruction de boucle à l’aide de

connecteurs logiques.

L’évaluation de cette activité relève de l’enseignement d’algorithmique appliquée.

3° Exemples simples de calculs portant sur des

variables booléennes.

On se limitera à des cas simples, comportant au plus trois variables booléennes, où l’utilisation de tableaux de Karnaugh ou de propriétés algébriques élémentaires permet de conclure sans excès de technicité.

On signalera l’intérêt des connecteurs non-ou (nor), non-et (nand).

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES


Ce module vient compléter, concernant les ensembles, celui relatif aux algèbres de Boole. Il développe les notions de produit cartésien, de relation et d’application en liaison avec les nombreuses utilisations qui en sont faites en informatique.


1° Produit cartésien de deux ensembles




Cardinal de E×F dans le cas où E et F sont finis.

On généralisera au cas du produit cartésien de n ensembles finis.


2° Relations binaires

Définition, propriétés.
Relations d’équivalence, relations d’ordre.


On évitera un trop grand formalisme. On ne s’intéresse qu’aux utilisations en informatique.

3° Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Image d’une partie A de E, image réciproque d’une partie B de F.



Les exemples illustrant ce paragraphe seront choisis en liaison avec l’enseignement de l’informatique. On soulignera l’importance de la notion d’injection pour coder des informations et de la notion d’image réciproque pour effectuer des tris.

Injection, surjection, bijection.

On attachera plus d’importance à une caractérisation textuelle qu’à l’énoncé de prédicats.

Composition d’applications.





Travaux pratiques

1° Exemples de situations où la modélisation ou des contraintes de fonctionnement requièrent des exigences se traduisant :

en termes de relation d’ordre ou d’équivalence,

en termes d’injection, de surjection ou de bijection.

On trouvera de nombreux exemples en informatique (codage, tri, compression…)

2° Exemples de composition d’applications toutes deux soit injectives, soit surjectives, soit bijectives.





GRAPHES ET ORDONNANCEMENT

Graphes
L’objectif est d’introduire et de mettre en œuvre, dans des situations concrètes très élémentaires et sans théorie générale, des algorithmes permettant de résoudre les problèmes figurant dans la rubrique de travaux pratiques.


Modes de représentation d’un graphe fini simple orienté : représentation géométrique, tableau des successeurs ou des prédécesseurs, matrice d’adjacence booléenne.

La définition d’un graphe fini simple orienté n’est pas au programme.

Interprétation des puissances entières et booléennes de la matrice d’adjacence.

Chemin, circuit, boucle, chemin hamiltonien. Fermeture transitive.

Uniquement pour un graphe non valué.

Pour un graphe sans circuit : niveau d’un sommet, niveaux du graphe.

Il conviendra de savoir déterminer les niveaux, sans qu’aucune méthode ne soit imposée.




Arborescence.

La notion de connexité étant hors programme, on se limitera à la présentation d’exemples simples d’arborescences à partir de leur représentation géométrique, sans recherche d’une caractérisation générale.

Longueur d’un chemin, chemin optimal en longueur.

On observera l’importance du résultat : tout sous chemin d’un chemin optimal est optimal.

Graphes valués (pondérés). Chemin optimal en valeur.

Simple présentation, sans théorie particulière.


Ordonnancement
L’objectif est double : sensibiliser l’étudiant aux problèmes d’ordonnancement et traiter manuellement un algorithme. Aucune justification théorique des algorithmes utilisés n’est au programme. On abordera MPM ou PERT. On s’attachera surtout à la compréhension des mécanismes. Et, les cas traités resteront suffisamment modestes pour que la rapidité ne soit pas un critère d’évaluation fondamental.


Méthode M.P.M ou méthode P.E.R.T., principe de représentation.

Dates au plus tôt, au plus tard.

Tâches et chemin critiques.

Marge totale, libre, certaine.

L’étudiant doit savoir mettre en œuvre l’algorithme utilisé et les interprétations des notions abordées doivent être connues. Aucune autre compétence théorique n’est requise.



Travaux pratiques

1° Exemples de mise en œuvre d’algorithmes permettant d’obtenir pour un graphe :

  • les chemins de longueur p,

  • la fermeture transitive,

  • les niveaux, dans le cas d’un graphe sans circuit,

  • une optimisation.

À partir d’exemples très élémentaires et sans introduire une théorie générale, on montrera l’intérêt des méthodes matricielles mettant en œuvre l’addition et la multiplication booléennes des matrices d’adjacence.

Dans une évaluation, tout énoncé relatif à ces algorithmes doit comporter des indications sur la méthode à suivre.

2° Exemples de résolution de problèmes d’ordonnancement par la méthode des potentiels métra (M.P.M.) ou la méthode P.E.R.T.

On présentera quelques cas concrets simplifiés et on les interprétera.

U22 – ALGORITHMIQUE APPLIQUÉE


Les thématiques abordées lors de l’étude de ce module sont très ouvertes, mais l’objectif visé, à l’intérieur du processus de conception, est fortement ciblé. On veillera à ce que les situations proposées soient mathématiquement achevées. Alors qu’une solution, voire un pré-algorithme, peuvent être décrits de manière très libre, textuelle ou graphique, par formules ou symboles, par l’exemple ou de manière inachevée, on s’attache ici à l’exprimer en utilisant les outils algorithmiques usuels, pour la rendre directement convertible et exécutable sur machine.
Afin de faciliter la compréhension des mécanismes et la détection d’éventuelles erreurs, il est impératif de les concrétiser par l’emploi d’un langage de programmation et de conduire l’étudiant à réaliser des tests. La tâche inverse, consistant à comprendre un algorithme, présente également un grand intérêt pour l’assimilation des mécanismes et lors d’opérations de maintenance.
Les compétences et savoir-faire à acquérir concernent la compréhension des solutions proposées, l’interprétation des algorithmes (découverte de leurs rôles), leur construction conforme aux prescriptions et convenablement documentée, leur transcription dans un langage informatique, leur mise au point et leur validation.
Les contrôles d’exécution constituent le cœur des mécanismes algorithmiques de base. À ce titre, on attachera un soin tout particulier à leur étude progressive mais détaillée. On ne se limitera, en aucun cas, à en définir les fonctionnements. Leur maîtrise pratique est essentielle et les évaluations doivent être centrées sur eux.
Pour l’écriture des algorithmes, on évitera l’utilisation de symboles graphiques contraignants. Une représentation textuelle convenablement indentée avec des indicateurs de début et de fin explicites conviendra. Pour faciliter la compréhension, on exigera également un en-tête composé d’un nom, d’un rôle, de l’indication des données d’entrée et de sortie et de la déclaration typée des données locales. Des commentaires seront ajoutés, si utiles, notamment pour préciser le rôle des variables et d’éventuelles indications méthodologiques.
Pour la programmation, on peut notamment utiliser un tableur, un langage de calcul formel ou un langage de haut niveau, éventuellement exécutable dans un navigateur. Aucun langage ni aucun logiciel n’est imposé, mais il convient de s’assurer qu’il est accepté par le centre d’examen.
Les sujets empruntés à la vie courante pourront être utilisés à chaque fois qu’ils permettent d’illustrer un mécanisme simple avec pertinence. Sinon, on préférera utiliser des sujets dérivés directement des modules mathématiques de l’U21 et, avec un certain équilibre, des sujets associés à des thématiques informatiques (par exemple : codage, cryptage et décryptage, redondance de sécurité, tri itératif et tri récursif, parcours de graphes). Ces sujets seront abordés à fin d’illustration des concepts fondamentaux d’algorithmique et de familiarisation avec les notions, les entités et les méthodes manipulés par ces thèmes, sans qu’aucune connaissance spécifique ne soit exigible de l’étudiant dans ces derniers domaines.
Généralités


Les concepts fondamentaux (algorithme, finitude, modularité, identifiant, constante, variable, fonction, procédure, expression numérique, expression conditionnelle et plus généralement booléenne…) seront acquis par l’usage, sans faire appel à des définitions formelles préalables.

Le formalisme a posteriori, utile à une compréhension fine, n’est pas exclu, mais ne peut faire l’objet d’évaluation.


Données manipulées



Types simples : entier naturel, entier relatif, réel,




booléen,

Peu importe la façon dont les valeurs de vérité sont représentées.

chaîne de caractères.



On évitera de considérer une chaîne comme un tableau de caractères.

Tableaux à une ou deux dimensions de type homogène, tableaux à deux dimensions constitués de tableaux à une dimension dont les types ne sont pas homogènes.

On adaptera la construction et l’exploitation de ces tableaux aux possibilités de l’outil informatique utilisé. Les structures de données, les objets, les fichiers ne sont pas au programme de mathématiques : ils figurent dans les enseignements professionnels.

Paramètres d’entrée, valeur(s) retournée(s) par une fonction, variables globales ou locales.

Sans aborder la programmation objet, les concepts de modularité, d’interface et de portée des variables devront être assimilés.


Instructions de base et opérateurs utilisés


Lecture, écriture.




Affectation, affectation récursive (la variable affectée participe à l’expression évaluée).




Opérateurs numériques : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation, quotient et reste de la division entière, signes. Fonctions mathématiques usuelles.




Opérateurs de comparaison : =, <> ou !=, <, <=, >, >=

Entre numériques et entre chaînes de caractères.

Opérateurs booléens : non, et, ou, oux




Opérateurs booléens bit à bit

On interprétera notamment en termes de masque, de mise à un, de mise à zéro, de changement d’état.

Opérateurs de chaînes : concaténation. Fonctions permettant l’extraction en début, milieu ou fin ; la recherche d’un motif.

L’usage d’expressions régulières simples est possible, mais l’étude des expressions régulières est hors programme.

Transtypage




Toute autre instruction, fonction ou procédure utile aux algorithmes traités.

Les descriptions sémantique et syntaxique précises seront alors mises à disposition de l’étudiant.

Contrôle d’exécution


Par défaut : l’exécution séquentielle.




Exécution à structure conditionnelle (si-alors-sinon),

Afin d’en maîtriser le fonctionnement, les structures d’exécution seront elles-mêmes présentées sous forme d’algorithmes.

Exécution à structure itérative déterministe (pour) et indéterministe (tant que / répéter jusqu’à ce que).
Méthodologie de construction des structures itératives :
raisonnement par récurrence, initialisation, mise à jour itérative et neutralisation des cas indésirables, calcul itératif (souvent récursif), mise en forme finale.

Le raisonnement par récurrence n’a pas à être évalué pour des démonstrations. Il est introduit pour servir de base à une méthodologie non empirique de construction des itérations.




Symboles et , traduction algorithmique.




Structures imbriquées, y compris quand les éléments de contrôle des structures internes dépendent de ceux des structures externes. Le nombre d’imbrications n’est pas limité, sauf pour les itérations en dépendance, où on se limitera à deux.

On évitera les excès de complexité.


Récursivité. Nécessité d’un test. Nécessité de cas particuliers résolus sans appel à la récursivité, finitude.

Pas de récursivité mutuelle de plusieurs procédures. Aucune connaissance théorique sur la complexité ou la conversion en itérations.


Travaux pratiques

1° Exemple(s) de récursivité terminale, conversion en algorithme non récursif. Exemple de récursivité non terminale.

Aucune connaissance n’est exigible.

2° Variantes où les notions de complexité temporelle et de complexité spatiale peuvent être abordées.

L’étude de la complexité des algorithmes se limitera au calcul d’un nombre minimum ou maximum d’opérations significatives ou de taille des données.

3° Exemples d’effets indésirables (effets de bord, évaluation partielle lors de calcul d’expressions booléennes, débordements ou approximations numériques, transtypage, utilisation d’indices hors domaine,…).

Afin de mieux sensibiliser l’étudiant à certains risques, on s’efforcera de présenter des cas aux conséquences spectaculaires. Aucune théorie n’est au programme.

4° Algorithme délibérément erroné dont les défauts seront repérés par débogage.

On procédera essentiellement par suivi de variables.

5° Interprétation d’algorithmes.

L’ajout d’une ou plusieurs procédures ou fonctions à un ensemble interdépendant peut constituer une excellente base.

UF1 – LANGUE VIVANTE ÉTRANGÈRE 2


Le niveau à atteindre est celui fixé dans les programmes pour le cycle terminal (BO hors série n°7 28 août 2003) en référence au Cadre européen commun de référence pour les langues6: le niveau B2 pour la langue anglaise et le niveau B1 pour la seconde langue vivante étudiée, ici à titre facultatif.
Les tâches à mettre en œuvre sont à tirer de la description de l’épreuve U12 – Expression et communication en langue anglaise.

UF2 – MATHÉMATIQUES APPROFONDIES


Cette unité d'enseignement facultative se décline en cinq modules standard :

  • Fonction d'une variable réelle ;

  • Calcul différentiel et intégral 1 ;

  • Statistique descriptive ;

  • Calcul des probabilités 2 ;

  • Fiabilité.
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