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Partie IV : Architecture de la matière condensée : Les solides cristallins.
Chapitre 1 : Le modèle du cristal parfait- Métaux et cristaux métalliques.
Partie 1 : Le modèle du cristal parfait.
Bulletin officiel.


Notions et contenus

Capacités exigibles (CE)

Description du cristal parfait ; population, coordinence, compacité, masse volumique.

Décrire un cristal parfait comme un assemblage de mailles parallélépipédiques.


Déterminer la population, la coordinence et la compacité pour une structure fournie.

Déterminer la valeur de la masse volumique d’un matériau cristallisé selon une structure cristalline fournie.


Relier le rayon métallique, covalent, de van der Waals ou ionique, selon le cas, aux paramètres d’une maille donnée.

Limites du modèle du cristal parfait.

Confronter des données expérimentales aux prévisions du modèle.



2014 était l’année internationale de la cristallographie


Un peu d’histoire :

Les éditions successives du "Traité de minéralogie", puis du "traité de cristallographie" de René-Just Haüy (1743- 1822) marquent un tournant en cristallographie. Dès lors, les mesures géométriques sur les cristaux et minéraux prennent une place importante.



Cristallographie et tout ce qui nous entoure:

Cristallographie et physique :

Il faut attendre les travaux sur la diffraction des rayons X par les cristaux de Von Laüe en 1912 et la mise au point ensuite du premier diffractomètre par Henry Bragg et son fils William pour obtenir la preuve expérimentale de l’arrangement cristallin (prix Nobel de physique attribué à H. et W. Bragg en 1915). Aujourd’hui, d’autres techniques complètent l’étude des cristaux : diffraction des électrons, des neutrons, RMN...



Introduction : La matière telle que nous la rencontrons le plus couramment se présente sous trois formes principales : l’état solide, l’état liquide et l’état gazeux.



L’objet de ce cours est d’abord de donner des définitions permettant d’étudier les propriétés des cristaux. Nous verrons qu’il est possible de classer les cristaux en quatre types de cristaux, suivant les interactions responsables de leur cohésion, et de leurs propriétés. L’étude de ces quatre types de cristaux est essentiellement descriptive : nous décrirons quelques structures cristallines courantes.

I- Les bases de la cristallographie : État cristallin – Modèle du cristal parfait.
Document 1 : L’état cristallin

L’examen au microscope d’un morceau de métal non usiné (fer, cuivre...) montre qu’il est en réalité constitué de la juxtaposition d’un grand nombre de petits domaines, appelés microcristaux, ou grains, entre lesquels existent des frontières assez nettes. Ces solides renfermant des microcristaux sont appelés solides cristallisés. Les microcristaux sont reliés par ces frontières que l’on appelle des joints de grain.



Document 2 : Cristallin ou amorphe ?

Les solides cristallins sont à distinguer de ceux présentant un état vitreux (comme le verre), qui sont appelés solides amorphes.


Document 3: Le modèle du cristal parfait

La régularité des formes extérieures observée sur les cristaux laisse présager l’existence d’une répartition régulière ou ordonnée des atomes, des ions ou des molécules dans un cristal.

Le cristal parfait est un solide sans défaut : il est constitué par un arrangement triplement périodique d’atomes, d’ions ou de molécules dans les trois directions de l’espace.

Dans la pratique, un cristal sera considéré comme parfait si l’ordre atomique est respecté sur une cinquantaine de distances interatomiques, soit, compte tenu du fait que les tailles des atomes varient entre 50 et 200 pm, sur une distance d’au moins 5 nm.

Document 4 : La classification des solides cristallisés

Nous classons les solides cristallins selon les liaisons qui maintiennent en place leurs atomes, ions ou molécules :


Document 5 : Maille

Hooke en 1664 et Steno en 1671 remarquent que dans un cristal donné, les faces sont planes et brillantes, les angles entre ces faces sont constants. Ils en déduisent qu’un cristal est obtenu par la répétition dans l’espace d’une « brique élémentaire » qu’ils appellent « maille ».
Définition de la maille :

Une maille est l’unité de base parallépipédique qui permet, par des translations, d’engendrer la totalité du cristal.

On retiendra ceci : simplement, on peut la définir comme « une petite partie d’un tout permettant de reconstituer ce tout ».

Une maille qui ne contiendra au total qu’un seul motif est dite unitaire. Elle est multiple dans les autres cas.

Souvent, afin de faciliter la description du cristal, on préfèrera utiliser une maille dite « maille conventionnelle », qui n’est pas unitaire.




Document 6 : Réseau – Ensemble de nœuds

Toute translation de vecteur conduit de O, point origine, à O’. Tous les points O’ et O sont des nœuds.

Cet ensemble des noeuds engendre le « réseau cristallin ». Les nœuds occupent des points précis dans l’espace que l’on appelle « nœuds » ou « points réticulaires ». (Adj. réticulaire = "qui a la forme d'un réseau").
Document 7 : Motif d’un cristal

Le motif d’un cristal est la plus petite entité discernable qui va se répéter périodiquement pour engendrer le cristal qui va se répéter périodiquement pour engendrer le cristal.
Exemples : Dans le cuivre cristallisé, le motif est un atome de cuivre.

Dans le chlorure de sodium cristallisé, le motif est constitué d’un ion Na+ et d’un ion Cl-

Document 8 : Structure cristalline
Vidéo n°1 à propos du Cristal, motif et réseau : https://www.youtube.com/watch?v=NiudsndCBMs
La connaissance du réseau et du motif permet de connaitre la structure cristalline du cristal étudié.
RESEAU + MOTIF = STRUCTURE CRISTALLINE


Travail à faire :
1-Rappelez la différence entre solide cristallin et solide amorphe. (Documents 1 ; 2 et 3)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé














………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

2- Dessiner différentes mailles possibles pour décrire le cristal hypothétique bidimensionnel ci-dessous : (Documents 5 ; 6 ; 7 et 8)

BO : Décrire un cristal parfait comme un assemblage de mailles parallélépipédiques.

réussi

seul

avec un camarade

Avec un appel professeur

partiellement
















Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé

















II-Caractéristiques d’un cristal.
Document 1 : Nombre de motifs Z par maille, ou population de la maille.
Définition : La population d’une maille est le nombre d’entités ou de motifs contenues dans la maille notée N ou Z.

Par exemple, pour la maille cubique à face centrée :


On comptabilise alors N (ou Z) en additionnant toutes les portions de motifs d’une maille élémentaire.
Document 2: La coordinence

Définition : La coordinence d’une entité A (atome, ion ou molécule) est le nombre n de plus proches entités voisines B qu’il possède. Elle se note : A/B = [n]


Document 3 : La compacité C

Elle rend compte du volume qu’occupent effectivement les entités dans la maille par rapport au volume de la maille. Plus la compacité est élevée, plus le volume occupé par les entités de la maille est important et moins il reste par conséquent de « place libre » dans la maille.
Définition : avec N = population de la maille et V = volume de la maille (V = a3 pour 1 maille cubique)
On peut aussi dire que la compacité est d’autant plus grande que la place perdue est faible. Et quoiqu’il en soit : une compacité C est toujours inférieure à 1.

Méthode : On note « a » l’arête du cube et on utilise la tangence des atomes (sphères de rayon r) selon la plus petite distance pour trouver une relation entre le paramètre de la maille « a » et le rayon des sphères r.

Vidéo n°2 À propos de la méthode de calcul de compacité d'une maille cristallographique Cubique Faces Centrées : https://www.youtube.com/watch?v=9uPhz_EVqo4

Vidéo n°3 À propos de la méthode de calcul de compacité d'une maille cristallographique Cubique Centrée : https://www.youtube.com/watch?v=BqWqZp7rbSE

Document 4 : La masse volumique – la densité

Définition : Sur le plan macroscopique, la masse volumique représente le quotient de la masse de l’objet sur le volume qu’il occupe. D’un point de vue microscopique, c’est la même définition : C’est le rapport de la masse d’une maille sur son volume.
Masse des motifs de la maille = Avec NA Nombre d’Avogadro et M : Masse molaire du motif (attention M est souvent donnée en g . mol-1).

 = =

Définition : La densité de la maille est le rapport de sa masse volumique sur la masse volumique de l’eau (les masses volumiques étant exprimées avec les mêmes unités !) ; La densité est une grandeur sans dimension.
Avec : ρeau = 1000 kg . m-3

Document 5 : Les limites du modèle du cristal parfait
Les solides cristallins « réels » présentent généralement une structure polycristalline, i.e. constituée de plusieurs monocristaux proches du cristal parfait mais liés entre eux de façon irrégulière.

En outre, au sein de ces monocristaux, il existe des défauts qui viennent perturber l’ordre absolu. Ces défauts peuvent être ponctuels (ex : déplacement d’une entité) ou linéaires (ex : absence d’entités sur une certaine distance).

Travail à faire :
1-Population d’une maille cubique simple : Compléter (Document 1)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé

















Dans cette maille, il y a ……… atome sur chaque sommet.

Nombre de sommets : ……….

Chaque sommet est commun à ……….. mailles donc un atome sur un sommet

compte pour ………..

Ainsi, cette maille contient : …………………………………………………..

2- Population d’une maille cubique centrée : Compléter (Document 1)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé














Dans cette maille, il y a : ……….. atome sur chaque sommet et …… au centre (à l’intérieur) de la maille.

Nombre de sommets : ……….

Chaque sommet est commun à ……….. mailles donc un atome sur un sommet compte pour ………..

Le centre est commun à ……….. maille donc un atome sur le centre compte pour ………..

Ainsi, cette maille contient : ……………………………………………………………

3- Population d’une maille cubique à faces centrées : Compléter (Document 1)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé














z2

Dans cette maille, il y a : ……….. atome sur chaque sommet et …… au centre de chaque face de la maille.

Nombre de sommets : ……….

Nombre de faces : ……….

Chaque sommet est commun à ……….. mailles donc un atome sur un sommet compte pour ………..

Chaque face est commune à ……….. mailles donc un atome sur une face compte pour ………..

Ainsi, cette maille contient : ……………………………………………………………

4- Coordinence d’une maille cubique simple : Donner la valeur de la coordinence pour une entité appartenant à une telle maille (vous pouvez compléter le schéma ci-dessous pour justifier votre calcul) (Document 2)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé
















………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
5- Coordinence d’une maille cubique centrée : Donner la valeur de la coordinence pour une entité appartenant à une telle maille (vous pouvez compléter le schéma ci-dessous pour justifier votre calcul) (Document 2)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé















………………………………………………………………………………………………………………………
6- Coordinence d’une maille cubique faces centrées : Donner la valeur de la coordinence pour une entité appartenant à une telle maille (vous pouvez compléter le schéma ci-dessous pour justifier votre calcul) (Document 2)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé















………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

7-Déterminer la compacité de la maille cubique simple. (Document 3)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé














………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

8- Déterminer la compacité de la maille cubique centrée. (Document 3)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé














………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

9- Déterminer la compacité de la maille cubique faces centrées. (Document 3)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé














………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

10-Déterminer la compacité de la maille hexagonale compacte représentée ci-dessous sachant que son volume est donné par V = et que les atomes sont tangents selon les arêtes de dimension a. (Document 3)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé

















c



a

Paramètre de la maille et contact entre les sphères : ……………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Nombre d’atomes par maille : …………………………………………………………………………………..
Compacité :………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
11- Application : Le fer présente plusieurs variétés allotropiques. Le fer  cristallise dans une maille cubique centrée.

Calculer sa masse volumique sachant que l’arête de la maille 287 pm et que MFe = 55.8 g/mol et NA = 6.02 1023 mol-1. En déduire sa densité. (Document 4)

Acquis

En cours d’acquisition

Non acquis

Non réalisé














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Complément n °1.

La cristallisation dans les verres : Application aux (vitro) céramiques transparentes


Complément n °2.

Vidéo n°4 à propos des réseaux de Bravais : https://www.youtube.com/watch?v=5qwYSIOFzvk
Les systèmes cristallins et les réseaux de Bravais

On ne peut paver complètement l’espace qu’avec des mailles possédant des conditions minimales de symétrie. Ainsi, il n’existe que 7 formes de mailles possibles, correspondant aux 7 systèmes cristallins décrits ci-après. Autrement dit, dans l'espace à trois dimensions, les différentes façons de répartir trois vecteurs conduisent à sept systèmes cristallins qui permettent de décrire toute la matière cristalline.


Ces 7 systèmes cristallins se distinguant les uns des autres par des mailles parallélépipédiques plus ou moins symétriques sont les suivants :


Ensuite, chacune de ces mailles peut :



La combinaison de ces 4 modes et des 7 systèmes cristallins conduit finalement à non pas 28, mais uniquement 14 réseaux différents, appelés « 14 réseaux de Bravais » :




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