Le nombre de Reynolds représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. IL s'énonce généralement de la façon suivante








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Définition [modifier]

Le nombre de Reynolds représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Il s'énonce généralement de la façon suivante :

 re = {v l\over \nu}

avec les unités S.I. suivantes :

V - vitesse du fluide [m/s],

L - dimension caractéristique [m] du phénomène :

. diamètre pour une conduite (de section circulaire le plus souvent), diamètre hydraulique.

. dimension jugée la plus pertinente pour une conduite ou un obstacle de forme quelconque,

. abscisse depuis le bord d'attaque pour une plaque plane ou un profil d'aile.

ν - (nu) viscosité cinématique du fluide : ν = η/ρ [m²/s].

ρ - (rhô) masse volumique du fluide [kg/m³],

η - (êta) viscosité dynamique du fluide [Pa.s],

Le nombre de Reynolds représente également le rapport (qualitatif) du transfert par convection par le transfert par diffusion de la quantité de mouvement.

En magnétohydrodynamique il est aussi possible de définir un nombre de Reynolds: le nombre de Reynolds magnétique.

Interprétation du nombre de Reynolds [modifier]

Le nombre de Reynolds peut s'écrire de la manière suivante :

 re = {{\rho v^2\over l}\over {\eta v\over l^2}} , Il s'interprète alors comme le rapport entre forces d'inertie et forces visqueuses.

On distingue trois principaux régimes.

Aux faibles valeurs du Reynolds (inférieures à 2000), les forces de viscosité sont prépondérantes, l'accélération convective étant négligée. On parle d'écoulement de Stokes. L'écoulement est laminaire (des éléments de fluide voisins demeurent voisins). De plus, comme l'inertie est négligeable, l'écoulement du fluide est réversible. Cela donne lieu à des comportements surprenants : si les forces extérieures sont soudainement stoppées, le fluide s'arrête immédiatement. Qui plus est, si les forces extérieures sont inversées, le fluide repart en sens inverse: dans une célèbre expérience de G.I.Taylor, une goutte d'encre, intialement mélangée dans un fluide visqueux, se reconstitue lorsqu'on a inversé le mouvement.

Aux valeurs intermédiaires du Reynolds (entre 2000 et 3000 environ), les forces d'inertie sont prépondérantes, mais l'écoulement reste laminaire. Cependant, il n'est plus réversible: si l'on stoppe les forces extérieures, le fluide continue partiellement sur sa lancée.

Aux fortes valeurs du Reynolds (au-delà d'environ 3000, voire plus haut), les forces d'inertie sont si importantes que l'écoulement devient turbulent. Entre les régimes laminaire et turbulent, on parle de régime transitoire.

Exemples [modifier]

Dans une conduite, l'écoulement est laminaire lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à une valeur critique pour laquelle se produit une transition assez brutale vers le turbulent. 2300 est la valeur généralement retenue pour cette transition mais, dans des conditions soignées (paroi particulièrement lisse, stabilité de la vitesse), la transition peut se produire pour une valeur plus élevée. On considère souvent que la transition peut se produire entre 2000 et 3000.

Sur un cylindre à section circulaire placé dans un écoulement, on obtient un écoulement proprement laminaire qui s'ajuste parfaitement à l'obstacle jusqu'à un nombre de Reynolds de l'ordre de 1 ; un sillage turbulent apparaît à l'aval aux environs de 105. Entre les deux, la transition se fait à travers diverses formes de sillages tourbillonnaires.

Avec une plaque plane située dans le lit de l'écoulement, la dimension caractéristique n'est plus l'épaisseur de celle-ci mais la distance d'un point au bord d'attaque. En effet une couche limite, dans laquelle interviennent la viscosité ou la turbulence, se développe à partir du bord d'attaque. Si celui-ci présente une arête émoussée, la couche limite est turbulente dès le début. Dans le cas d'un bord effilé, la couche limite est laminaire sur une certaine longueur, puis devient turbulente ensuite. Cette laminarité se maintient jusqu'à une distance qui correspond au Reynolds critique de l'ordre de 5.105 marquant la transition du type d'écoulement, la zone située au delà développant une couche limite turbulente.

Pour un profil d'aile, la distribution d'épaisseur le long de la corde (et le gradient de pression négative associé) de certains profils dits "laminaires" stabilise la laminarité et permet de reculer le point de transition bien au delà de 5.105 : des valeurs de 7.106 sont possibles dans des conditions aérologiques non turbulentes (difficiles à obtenir en soufflerie) sur une surface parfaitement lisse (ailes de planeurs).

Un corps profilé comme un fuselage (Piaggio P180 Avanti) peut avoir une transition reculée jusqu'à 50.106, dans des conditions idéales également.

En médecine [modifier]

Les modifications de régime d'écoulement entraînées par la compression d'une artère, en règle générale l'artère humérale, lors de la prise de la pression artérielle sont responsables d'un bruit (« bruits de Korotkoff ») et permettent, par l'auscultation de l'artère en aval de la compression, de connaître la pression systolique -apparition du bruit-, et la pression diastolique -disparition du bruit.

En Hydromécanique [modifier]

Dans un circuit ou système hydraulique ou oléohydraulique l'écoulement doit toujours être, si possible, laminaire avec, comme seule dissipation d'une partie de l'énergie mécanique, sa transformation en chaleur. Au delà il est en phase dite critique, puis en régime turbulent qui utilise une partie de l'énergie mécanique pour créer des mouvements de plus en plus désordonnés, le rendement chutant alors considérablement

Sur un schéma hydraulique pour calculer les pertes en charges et le rendement d'un système hydraulique, il faut soit ajouter chaque élément pour obtenir le nombre de Reynolds complet, soit utiliser un abaque comme ici pour définir les Ø des tuyauteries, raccords et flexibles hydraulique

La similitude des fluides [modifier]

Deux écoulements à géométrie équivalente pour lesquels les nombres de Reynolds sont égaux sont dits semblables. Pour qu'une expérience de modèle réduit d'un écoulement donne bien un écoulement semblable (c'est-à-dire identique à changements d'échelles de temps, de distance et de masse près) à l'écoulement en grandeur nature, il faut que :

et  \quad\quad {p^{\star}\over \rho^{\star} {v^{\star}}^{2}} = {p\over \rho v^{2}} \; .

Les valeurs marquées d'une astérisque « * » font référence à l'écoulement dans le modèle réduit et les autres valeurs à l'écoulement en grandeur nature. Ceci est utile pour les expériences sur les modèles réduits en veine liquide ou en tunnel aérodynamique où on récupère les données pour les écoulements en grandeur réelle. Pour les fluides compressibles, les nombres de Mach doivent aussi être égaux pour les deux fluides afin qu'ils puissent être considérés comme équivalents. De manière générale, il faut que les nombres sans dimension caractéristiques de l'écoulement soient identiques dans les deux écoulements.

Références [modifier]

(en) Peter Smith Stevens (trad. J. Matricon, D. Morello), Les Formes dans la Nature (Patterns in Nature), Seuil, coll. « Science ouverte », 1976 (réimpr. 1978), 22×27 cm, 240 p. (ISBN 2-02-004813-2), chap. 3 (« Écoulements »), p. 59-68

offre une présentation simple et détaillée du nombre de Reynolds et du phénomène de tourbillon.

Voir aussi [modifier]

Le Nombre De Froude,

de l'hydrodynamicien anglais William Froude, est un nombre adimensionnel qui caractérise dans un fluide l'importance relative des forces liées à la vitesse et à la force de pesanteur. Ce nombre apparaît essentiellement dans les phénomènes à surface libre, en particulier dans les études de cours d'eau, de barrages, de ports et de navires en modèles réduits (architecture navale). Il est également important dans la météorologie pour l'écoulement en montagnes.

Définition [modifier]

Si le fluide ne peut être assimilé à un fluide parfait, il faut aussi prendre en compte le nombre de Reynolds.

Le nombre de Froude Fr (Fn en anglais) pour un canal rectangulaire est défini par :

f_r = \frac{v}{\sqrt{g h}} où:

v est la vitesse de l'écoulement (en m/s);

g l'accélération de la pesanteur (9.81 m / s2);

h une dimension linéaire caractéristique du phénomène;

On peut l'exprimer en fonction du Nombre de Richardson : fr = \frac{1}{{r_i}^2}

Exemples [modifier]

Dans le cas des cours d'eau, h représente la profondeur. \sqrt{g h} est la vitesse des vagues dans le cours d'eau. Le nombre de Froude est ainsi l'équivalent hydrodynamique du nombre de Mach ( rapport de la vitesse et de la vitesse du son);

En architecture navale, h est la longueur de la carène en mètres;

En météorologie de montagnes, h est la hauteur entre le pied et le sommet de ces dernières;

Valeurs critiques [modifier]

Pour un cours d'eau un même débit peut être obtenu de deux façons différentes :

Fr > 1 : régime torrentiel, avec une faible hauteur d'eau et une forte vitesse (équivalent d'un régime supersonique). Dans ce régime, le fluide est "tiré" par les forces qui le meuvent (la gravité le plus souvent), sans que la masse de fluide en avant soit une gène.

Fr < 1 : régime fluvial, avec une forte hauteur d'eau et une faible vitesse (équivalent d'un écoulement subsonique). Ce régime est "piloté par l'aval" : le comportement des particules en mouvement est contraint par celles qui les précèdent.

Dans les deux solutions la hauteur d'eau et la vitesse sont déterminées suivant le nombre de Froude et le débit, mais les solutions ne se calculent pas de la même façon. La détermination du nombre de Froude est donc un préalable au calcul

La transition du régime torrentiel au régime fluvial provoque un ressaut hydraulique (qui ressemble à un mascaret, mais n'en est pas un) : la hauteur d'eau s'accroit brusquement. Le phénomène est observable dans un lavabo : lorsque l'eau qui coule touche la surface, sa vitesse initialement élevée -- nombre de Froude > 1 -- diminue à proportion de sa distance au point d'impact, et Fr finit par descendre en dessous de 1.

Nombre de Strouhal

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En analyse dimensionnelle, le nombre de Strouhal est un nombre sans dimension décrivant les mécanismes de circulation oscillante.

Il est définit de la manière suivante:

 sr= {f l\over v}

avec:

f la fréquence d'émission de tourbillons

L une longueur caractéristique (par exemple le diamètre hydraulique)

V la vitesse du fluide.


Dans le cas d'un cylindre de diametre "L", placé dans un écoulement de vitesse amont infinie "V", Le nombre de Strouhal du sillage de ce cylindre est une fonction du nombre de Reynolds Re et dans la région 200advection et du temps caractéristique de l'instationnarité.

Effet Venturi

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Pour les articles homonymes, voir Venturi (homonymie). http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/disambig.svg/20px-disambig.svg.png

l\'effet venturi. la pression au point 1 est plus grande qu\'au point 2. et la vitesse du fluide au point 2 est plus grande qu\'au point 1.

http://fr.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

L'effet Venturi. La pression au point 1 est plus grande qu'au point 2. Et la vitesse du fluide au point 2 est plus grande qu'au point 1.

L'effet Venturi (du nom du physicien italien Giovanni Battista Venturi) est le nom donné à un phénomène de la dynamique des fluides où les particules gazeuses ou liquides se retrouvent accélérées à cause d'un rétrécissement de leur zone de circulation.

Il est également à noter que l'accélération du vent occasionne une chute de la température (décompression adiabatique) et favorise la condensation dans un milieu gazeux.

On peut comprendre cet effet avec le théorème de Bernoulli : si le débit de fluide est constant et que le diamètre diminue, la vitesse augmente nécessairement ; du fait de la conservation de l'énergie, l'augmentation d'énergie cinétique se traduit par une diminution d'énergie élastique, c'est-à-dire une dépression.

Notons que l'effet Venturi ne concerne que les vitesses d'écoulement subsoniques basses (< Mach 0,4).

En zone montagneuse [modifier]

Dans les zones montagneuses, l'effet Venturi est tout le temps présent. Si les particules d'air rencontrent une montagne (ou tout terrain surélevé), elles se retrouvent obligées pour la franchir de passer par-dessus (si elles ne peuvent passer sur les côtés). La zone de circulation étant moindre, les particules se retrouvent accélérées, de manière à conserver le même débit qu'avant. C'est pour cette raison que le vent au sommet des montagnes est toujours plus rapide que celui à sa base.

En aéronautique, il est donc très important pour les pilotes d'analyser le terrain les entourant s'ils veulent atterrir en zone montagneuse en sécurité ou même simplement franchir une zone surélevée.

Applications [modifier]

Dans les tuyères des moteurs à réaction, juste avant la sortie des gaz d'échappement, un goulot d'étranglement est présent et permet, en utilisant l'effet Venturi, d'accélérer les gaz et ainsi d'augmenter la poussée.

L'effet Venturi peut être utilisé pour créer une dépression et ainsi réaliser une aspiration. Ceci est utilisé par exemple :

dans les carburateurs des moteurs à combustion interne,

Dans certains détendeurs de plongée sous-marine. Le flux d'air moyenne pression injecté dans le deuxième étage de ces détendeurs est orienté de telle manière qu'il participe à l'aspiration de la membrane. Cette membrane appuyant sur le levier qui provoque l'injection d'air, l'effet venturi réduit alors l'effort inspiratoire.

sur certaines cheminées, pour améliorer le tirage,

pour mélanger des liquides (un liquide mis en dépression aspire l'autre liquide et permet le mélange), par exemple le mélangeur d'émulseur et d'eau des lances à mousse des sapeurs-pompiers,

un venturi (convergent + divergent) permet de limiter le débit à un seuil déterminé et ce quelle que soit la pression amont sur une canalisation,

pour réaliser des pompes à vide de faible puissance, comme par exemple les dispositifs montés sur les robinet des paillasses de chimie, ou bien les aspirateurs de mucosité branchés sur les détendeurs des bouteilles de dioxygène médical.

pour améliorer la portance d'une aile d'avion...

comme appareil de mesure de débit, basé sur la chute de pression au niveau du venturi.

Dans les pistolets à peintures, alimentés par le biais d'une turbine basse pression ou d'un compresseur.

Pour administrer dans les alvéoles pulmonaires des médicaments au travers d'aérosols liquides (principe de l'Aérosolthérapie ; Venturi pneumatique).

Fluide incompressible

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Un fluide est dit incompressible lorsque son volume demeure quasiment constant sous l'action d'une pression externe.

En réalité, tous les fluides sont compressibles, certains plus que d'autres. La compressibilité d'un fluide mesure la variation de volume d'une certaine quantité de ce fluide lorsqu'il est soumis à une pression extérieure. Ainsi si l'on bouche l'orifice de sortie d'une pompe à vélo et que l'on pousse sur la pompe, on voit que l'on peut comprimer l'air contenu à l'intérieur. En revanche si l'on faisait la même expérience avec de l'eau à l'intérieur, on ne pourrait quasiment pas déplacer la pompe: c'est parce que la compressibilité de l'eau (et de tous les liquides) est très faible.

C'est pour cette raison que pour simplifier les équations de la mécanique des fluides, on considère souvent que les liquides sont incompressibles. En termes mathématiques, cela signifie que la masse volumique d'un tel fluide est supposée constante

ρ = ρ0 = constante

L'équation de conservation des masses prend alors une forme particulièrement simple :

sous forme intégrale sur une surface fermée :

\iint_s \vec{v}.\vec{n} \mathrm{d} s = 0

qui indique l'égalité des débits volumiques entrant et sortant.

ou bien sous forme locale

\mathrm{div} \vec{v} = 0

Cette dernière propriété du champ de vitesse est fondamentale et permet l'utilisation d'un grand nombre d'outils mathématiques. On montre en particulier que dans des géométries bidimensionnelles ou cylindriques le champ de vitesse peut alors s'écrire comme le rotationnel d'une fonction de courant.

Plus concrètement, l'incompressibilité d'un fluide implique que le débit volumique vS dans une conduite de section variable S est constant. Dans un rétrécissement, la vitesse augmente, dans un élargissement, elle diminue. Le théorème de Bernoulli montre alors que la pression diminue dans un rétrécissement. C'est l'effet Venturi, mis en application par exemple dans la trompe à eau, dispositif utilisé pour créer un vide partiel dans un récipient.

L'hypothèse de fluide incompressible peut être également utilisée pour des écoulements de gaz, à condition que le nombre de Mach soit faible.
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