1. L’enseignement de la géométrie en questions Intérêt de la géométrie








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Guy Brousseau

Les propriétés didactiques de la géométrie élémentaire

L'étude de l'espace et de la géométrie


Conférence invitée, publiée dans les actes


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Séminaire de Didactique des Mathématiques, Rethymon 2000 Université de Crète, Département des Sciences de l'éducation

1. L’enseignement de la géométrie en questions

1.1. Intérêt de la géométrie


La géométrie intervient, par ses objets, par ses énoncés, par ses méthodes, et par les représentations qu’elle propose dans de très nombreuses branches des mathématiques et des sciences, et quelque fois de façon inattendue.

De plus l’enseignement de la géométrie entraîne les élèves au raisonnement mathématique, c’est à dire à un mélange de raisonnement déductif et d’imagination inductive, activé par une manipulation familière des images. De ce fait elle prépare les élèves à aborder d’autres théories mathématiques

Il est inutile de reprendre ici tous les arguments qui ont été donnés à l’appui de l’idée que l’enseignement de la géométrie est une composante essentielle de la formation des élèves, et d’ailleurs aussi de les réfuter.

1.2. Propriétés didactiques


La géométrie offre aux professeurs une possibilité de provoquer chez leurs élèves une activité reconnue comme authentiquement mathématique par la plupart des mathématiciens eux mêmes. Ce n’est pas le cas de l’arithmétique élémentaire absorbée dans l’algèbre, de l’algèbre elle-même, souvent assimilée à du calcul et même réduite à des algorithmes, sans parler des statistiques dont le contenu est à peine reconnu comme mathématique et que les professeurs du moins en France ne daignent ou ne savent pas enseigner. Cela tient en partie au fait que la géométrie offre à propos d’un petit nombre d’objets, tout un feutre d’énoncés en interrelation, que l’on peut approcher par un tissu serré de théorèmes, et en partie à l’ancienneté et à la profusion luxuriante des approches ou des points de vue à son sujet.

Le succès de la géométrie comme moyen didactique d’introduire aux mathématiques aux sciences et à la culture est tel qu’il y a lieu de s’interroger sur certaines de ses conséquences.

L ‘enseignement de la géométrie porte en lui une épistémologie spontanée : un ensemble de croyance et de déclarations sur ce que sont les mathématiques, sur la façon d’en faire, d’en chercher, d’en apprendre, d’en trouver, de les organiser, etc. que les élèves et les professeurs peuvent utiliser et développer ensemble. Avec cette épistémologie s’articule une « didactique » assez naturelle qui établit une marge assez large et surtout assez malléable pour le professeur entre ce qui est enseigné et ce qui est demandé aux élèves, de l’exercice aux problèmes les plus complexes il est souvent presque facile d’organiser des chaînes de problèmes suggestifs et néanmoins aussi proches les uns des autres qu’on le veut. C’est cette marge qui est connue et reconnue comme riche.

1.3. Les inconvénients d’un paradigme des mathématiques


Ces propriétés sont implicitement celles que les professeurs auraient tendance à exiger des autres branches des mathématiques.

Cette exigence est-elle légitime ? La géométrie est elle un bon représentant du fonctionnement de toute théorie mathématique ? Les conceptions didactiques qui lui sont attachées restent elles valides pour d’autres enseignements ? Ou au contraire la relative « facilité » de la didactique de la géométrie a-t-elle conduit les professeurs à de graves méprises dans d’autres domaines?

Les professeurs ont tendance à assimiler le raisonnement mathématique avec le raisonnement en géométrie (que je qualifierai de « visio-déductif »), puis finalement avec le raisonnement déductif. Cette tendance remise en honneur après l’écroulement du projet dit des mathématiques modernes est-elle fondée ? Il semble que ce processus ait contribué fortement à dévaluer la partie du « raisonnement » qui, à l’école primaire consistait à ordonnancer, à annoncer et à justifier un ensemble de tâches, ou un calcul, au profit exclusif du raisonnement déductif, c’est à dire à l’articulation logique des relations. Est-ce un progrès ? est-ce bien adapté ?

L’opposition exacerbée entre le raisonnement déductif en géométrie et le « calcul » a conduit à traiter l’algèbre comme un recueil d’algorithmes. Elle a contribué à faire disparaître de l’enseignement secondaire, l’algèbre en tant que théorie mathématique identifiable et à effacer ses rapports avec l’arithmétique élémentaire, ce qui a fini par perturber profondément les enseignements de mathématiques à l’école primaire.

Le fait que les probabilités et surtout les statistiques ne puissent s’inscrire dans les schémas didactiques développés par les professeurs de mathématiques sur le modèle de la géométrie en rend l’enseignement très difficile, du moins en France. Est-ce sans rémission ?

La confusion de la topogenèse déductive avec la chronogenèse didactique s’est nourrie d’un succès relatif dans le domaine de la géométrie au niveau secondaire. Quelles conséquences peuvent avoir les réifications des méthodes didactiques développées en géométrie dans les autres secteurs ?
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