A- recherche des raisons d’être








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Organiser l’enseignement autour d'un PER en classe de Seconde 

L’exemple de la géométrie plane

Sommaire


3.La géométrie vectorielle  7



A- Recherche des raisons d’être : Pourquoi étudier la géométrie ?

On peut lire dans l’introduction du programme de Seconde de détermination qu’il est « composé de trois grands chapitres : statistique, calcul et fonctions, géométrie, pour chacun desquels les capacités attendues, en nombre volontairement limité, constituent la base commune des programmes des années ultérieures ».

Nous nous sommes posé les questions suivantes, très générales, à la recherche des raisons d’être de l’étude de ces trois domaines des mathématiques :

Pourquoi étudier les fonctions ? Pourquoi étudier la géométrie ? Pourquoi étudier les statistiques ?

Rares sont les réponses fournies par les programmes. Il faut faire des recherches à la fois dans et hors des mathématiques. Si cette liste de réponses n'est jamais exhaustive, du moins son contenu n'est-il pas de l'ordre d'un choix personnel de tel ou tel membre de la communauté des Mathématiques mais bel et bien constituée en puisant dans l'Histoire (et l'histoire des mathématiques en particulier), dans les autres disciplines, dans les problèmes actuels qui se posent à la société, ...
La géométrie est présente dans le Monde et aide à comprendre cet espace dans lequel nous vivons :

- formes des objets de la vie quotidienne ;

  • architecture (Antiquité, bâtisseurs du Moyen Age, échangeurs d’autoroute...) ;

  • arts (peinture, instruments de musique, pavage…) ;

  • dans diverses sciences (cartographie, optique, mécanique, astronomie, informatique,…)

Indépendamment des contenus des programmes, que pouvons-nous répondre à la question générale :

Pourquoi étudier la géométrie ?

Voici des problématiques mathématiques abordables au niveau du lycée et les contenus correspondants :


  1. Pour construire (ou reproduire) des figures

Reproduire des figures telles que les sangakus, savoir comment on peut reproduire certains motifs architecturaux, comme par exemple les rosaces gothiques de nombreuses églises ou bien savoir comment tel peintre a composé certains motifs sont autant de tâches utiles pour comprendre le monde dans lequel on vit.
Pour résoudre ce type de tâches, il est nécessaire d’analyser la figure à construire ou à reproduire.

Les techniques varient selon que la figure est disponible sur papier ou pas -on peut alors imaginer que le papier calque fera l’affaire- ou bien que les dimensions sont directement accessibles ce qui peut favoriser une démarche de reproduction. Mais souvent les figures à reproduire ou à construire présentent des contraintes telles que la mobilisation de connaissances mathématiques est alors nécessaire.

Certaines constructions sont des constructions utilisant des méthodes approchées, d’autres sont le fruit de méthodes exactes. Restent à savoir comment on peut valider si une méthode est exacte on non. Les outils de géométrie enseignés (géométrie pure, transformations, voire géométrie analytique) ont pour fonction entre autres de répondre à cette question.


2. Pour comparer des grandeurs géométriques

Savoir si deux grandeurs sont égales ou si l’une est plus grande que l’autre est une question qui peut être considérée comme créatrice de la géométrie en Egypte dans l’antiquité.

Les techniques sont diverses :

- découpages,

- pesées,

- quadrillage pour les aires,

- par des formules établies éventuellement à l’aide de calcul intégral,

- par des quadratures ou cubatures,

- par des démonstrations (triangles isométriques par exemple)

-






La table de Joop : une table carrée qui se transforme en table triangulaire

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  1. Pour étudier des lieux

L’étude de lieux géométriques a été à la source de création de techniques utilisées dès l’antiquité pour résoudre des constructions par la méthode dite des deux lieux (trisection de l’angle par exemple).

Les lieux ont aussi été largement utilisés au XVIIe siècle pour définir des courbes que les mathématiciens étudiaient suite à la création de la géométrie analytique.

La mécanique a aussi utilisé l’étude des lieux pour connaître la façon dont se déplaçaient certains points d’une machine (bielle manivelle par exemple).
Les techniques de résolution peuvent faire apparaître divers contenus mathématiques.


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  1. Pour déterminer la mesure d’une grandeur ou une mesure approchée d’une grandeur

- en utilisant des formules

- en utilisant des théorèmes vus au collège (théorèmes de Thalès, de Pythagore…)

- en utilisant les propriétés des triangles isométriques

- en utilisant les propriétés des triangles semblables



Astrolabe http://astrolabe-visions-du-monde.chez-alice.fr/astrolabe.JPG


  1. Pour exprimer une grandeur en fonction d’autres grandeurs

- en utilisant des théorèmes vus au collège (théorèmes de Thalès, de Pythagore…)

- en utilisant les propriétés des triangles isométriques

- en utilisant les propriétés des triangles semblables.

Ce type de problème apparaît dans les situations fonctionnelles.


  1. Pour construire des segments de longueur donnée, c’est à dire initier au calcul graphique

- en utilisant des propriétés vues au collège (Thalès, Pythagore, angles, symétrie, médiatrices …)
- en déterminant des relations algébriques dans une figure

- en transformant l’écriture d’un nombre.
7. Bilan

Ces réponses ont été étudiées par les mathématiciens depuis l’antiquité. Mais les théories sous jacentes ont été construites à partir de grandes questions que les hommes se sont posés :

- Comment déterminer des grandeurs inaccessibles ?

  • Comment inscrire ou circonscrire une figure à une autre ?

  • Comment construire des polygones réguliers ?

  • Comment paver le plan avec motifs répétés ? (avec quels algorithmes ?)

  • Idem avec les frises ?

  • Comment construire des segments de longueurs données par une relation na, a/b etc. a et b étant les mesures de segments donnés ?

  • Comment comparer deux grandeurs sans calcul (quadratures et cubatures ou superposition par découpage) ?

  • Comment exprimer une grandeur en fonction d’autres grandeurs ?

  • Comment déterminer la mesure d’une grandeur ?

  • Comment ramener une démonstration géométrique à un problème de calcul ?

- Comment construire une figure astreinte à respecter des conditions ?

  • Comment déterminer un lieu géométrique ? 1

  • Comment savoir si une méthode de construction est exacte ou approchée ? ** 2

- …
On peut remarquer que, par ces questions, nous sommes plus souvent tournés vers le passé car l’enseignement demandé (tout en ayant des applications actuelles) est fondée sur la géométrie d’Euclide. Actuellement, la géométrie discrète (celle des ordinateurs) est plus porteuse au niveau de la recherche mais pour la comprendre encore faut-il savoir en quoi elle diffère de la géométrie de tous les jours qui est celle d’Euclide. Ces questions résultent de problèmes issus soit des mathématiques soit hors mathématiques. Le rôle de la géométrie ne se dément pas aujourd’hui même si les conditions ne sont plus purement géométriques mais parfois mécaniques (constructions de ponts, de gratte-ciel ou bien d’échangeur d’autoroutes…). Ainsi est-il possible de justifier aux yeux des élèves les raisons de l’étude de la géométrie, en particulier pour la compréhension de notre environnement présent à travers l’histoire.

On envisage de parcourir l’ensemble des notions de géométrie plane, en gardant en permanence l’idée de constructions géométriques. On rencontrera ainsi les transformations géométriques et leurs usages démonstratifs, de même que des ensembles de nombres en travaillant en particulier autour de la question des valeurs exactes et approchées. La construction et la reproduction de figures amènent à plusieurs types de tâches :

1) Analyser une figure et en extraire les propriétés 

2) Déterminer les éléments qui permettent la construction 

3) Juger si la construction est possible, unique 

4) Valider la construction

5) Juger si la méthode de construction est exacte ou approchée 

6) Réaliser la construction (choix des outils)



B- Quelques éléments historiques utiles pour faire des choix quant à des organisations mathématiques

  1. la géométrie grecque :

La géométrie grecque mise en forme par Euclide est dans les grandes lignes, celle que nous enseignons dans les programmes de collège en y adjoignant les triangles semblables et isométriques enseignés en seconde qui sont deux techniques importantes entrant dans les démonstrations de l’époque.

Ces mathématiques se sont forgées dans les résolutions de problèmes essentiellement de construction :

- inscrire ou circonscrire une figure à une autre,

- construire des polygones réguliers,

- réaliser des quadratures ou des cubatures

Ces questions nous semblent encore des questions vives de l’enseignement des mathématiques.

Les grecs n’ayant pas l’algèbre au sens ou nous l’entendons développent ce que l’on appelle l’algèbre géométrique. Ainsi quand il s’agit de déterminer un point C d’un segment [AB] tel que le carré de côté CB ait la même aire que le rectangle de côté AB et AC, les grecs construisent géométriquement le segment AC de longueur cherchée.

Les méthodes de construction sont des méthodes exactes et la démonstration est présente pour le rappeler.
Remarques didactiques :
Ayant à enseigner des contenus grecs, il semble que l’on puisse motiver l’enseignement des notions à partir de questions qui ont motivé les géomètres grecs.

Euclide (fresque de Raphaël)


  1. la géométrie de Descartes

Le XVIIe siècle apporte une rupture quant aux méthodes de résolution. A cette époque on se met à critiquer les méthodes des Anciens. Deux critiques essentielles se font jour :

  • le cadre euclidien est trop étroit : il ne permet pas de trouver de nouveaux résultats mathématiques

  • les démonstrations semblent artificielles : en effet de nombreux résultats sont démontrés dans les Éléments par l’absurde. Or pour démontrer par l’absurde, il faut connaître le résultat : comment les Anciens trouvaient-ils ces résultats ?


Ces critiques sont clairement formulées par Descartes :

« Quand je me suis d’abord appliqué aux disciplines mathématiques, j’ai lu immédiatement en entier la plupart des choses qu’enseignent d’ordinaire leurs promoteurs et j’ai cultivé de préférence l’Arithmétique et la Géométrie, parce qu’elles étaient, disait-on, les plus simples et comme un cheminement au reste. Mais, ni dans l’une ni dans l’autre, il ne m’est alors par hasard tombé sous la main des auteurs capables de me satisfaire pleinement. Certes j’y lisais sur les nombres une foule de développements dont le calcul me faisait constater la vérité ; quant aux figures, il y avait beaucoup de choses qu’ils me mettaient en quelque sorte sous les yeux mêmes et qui étaient la suite de conséquences rigoureuses. Mais pourquoi en était-il ainsi et comment parvenait-on à le trouver, ils ne me paraissaient pas le montrer à l’intelligence elle même. »

Descartes, Règles pour la direction de l’esprit, 1628.
Descartes se forge une méthode pour « pour augmenter par degrés » sa connaissance. Cette méthode est exposée dans le Discours de la méthode, paru en 1637, avec ses trois essais scientifiques, La géométrie, La dioptrique et Les météores. Dans sa Géométrie, Descartes applique aux mathématiques sa doctrine et, pour en montrer toute sa puissance, il démontre un problème de Pappus (vers 300) dont on ne connaissait aucune solution jusqu’alors.

On peut résumer la méthode de Descartes en quatre points :

  • Supposer le problème résolu

  • Mettre le problème en équation

  • Analyser l’équation (y a-t-il un seule inconnue ? (on peut alors résoudre) ; y a-t-il plusieurs inconnues ? (quelle courbe cette équation représente-t-elle ?).

  • Revenir au problème


Le problème de Pappus : étant donnés quatre droites (AG), ( IG), (AS) et (ER) d’une part, quatre angles et un rapport k d’autre part, il s’agit de déterminer des points C tels que les projections de C sur les quatre droites suivant les directions données par les angles (cf. la figure où les angles donnés sont marquées dans des couleurs différentes) vérifient =k.

P
our résoudre ce problème Descartes pose AB=x et CB=y et il exprime les autres quantités CD, CH, CE et CF en fonction de x et y. Descartes, par sa résolution, fonde bien la géométrie analytique, car le choix de A, de la direction (EG), et de la direction (CB) -qui est fixe car l’angle entre (EG) et (CB) est donné - revient à choisir deux axes comme nous le faisons habituellement et à repérer un point par deux nombres.

Comme le montre cet exemple, Descartes crée un nouvel outil pour résoudre un problème de géométrie : il s’agit dans le problème de Pappus, d’un problème de lieu. Pour faire fonctionner cet outil il adopte :

  • une nouvelle façon de penser les objets mathématiques : les courbes sont des équations. Des coniques seront des équations du second degré etc.

  • une nouvelle façon de raisonner résumée dans les quatre points exposés ci-dessus. La mise en équation de problèmes, la manipulation de calculs littéraux et la résolution des équations sont les clés de voûte de cette façon de raisonner.

Cette méthode n’est pas sans inconvénients : d’une part de nombreux calculs sont nécessaires, d’autre part une fois le problème algébrisé, on perd le sens du problème géométrique initial. Ces critiques seront en particulier formulées par Leibniz. Descartes montre la puissance de sa méthode dans des problèmes de constructions et de lieux :





D

’autre part Descartes crée d’une certaine manière le calcul graphique en adoptant le choix d’une unité, il peut ainsi construire un segment dont la longueur est un produit de longueurs (jusqu’à Descartes un produit de deux longueurs ne pouvait être représenté que par une aire) mais aussi l’inverse ou la racine carrée en se fondant sur des propriétés euclidienne élémentaires :




Remarques didactiques :
Cette étude nous instruit sur plusieurs points :

- l’algèbre a été créé pour résoudre des problèmes en particulier des problèmes de construction et de lieux en géométrie. Ils mettent en œuvre une compétence essentielle dans notre enseignement : calculer une grandeur en fonction d’une autre grandeur,

- le calcul graphique créé par Descartes permet la construction effective des figures. Il est justifié par des outils de la géométrie euclidienne,

- Descartes algébrise la géométrie : cette question interne aux mathématiques peut aussi être une vraie question au niveau de notre enseignement.

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