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2. L’UM : Elle est définie comme la variation de l’utilité totale UT résultant de la variation d’une unité de la quantité du bien consommé. En reprenant le tableau de l’utilité total établi précédemment on peut donc établir à l’aide de cet exemple l’utilité marginale UM, correspondant aux variations unitaires des quantités consommées du bien X.
3. La définition précédente de l’utilité marginale UM peut être exprimée mathématiquement de la manière suivante : On sait que UT= f (x) est l’expression de la fonction de l’utilité totale Ut. Elle exprime le degré d’utilité que procure à un individu la consommation de quantités variables x du bien X. Elle est par ailleurs supposée continue en vertu du postulat P3. Ainsi, si x représente la variation de la quantité consommée du bien X, l’utilité totale représente la variation correspondante U de UT = f(x). On définira l’utilité marginale UM du bien X comme la limite du rapport Ut/x quand x tend vers zéro. L’utilité marginale UM du bien X exprime donc la variation de l’utilité Ut consécutive à une variation infinitésimale de la quantité x. Or on sait qu’en mathématiques, la limite du rapport Ut/x quand x tend vers zéro exprime la dérivée de la fonction Ut = f (x) c’est à dire :  UM = U’= f ’(x) = lim Ut/x  x 0Finalement, on peut écrire que :  UM = f ’(x) = dUt/dx L’utilité marginale d’un bien X est égale à la dérivée de la fonction d’utilité totale. Elle exprime la variation de l’utilité totale induite par la variation d’une unité du bien consommé. Jusqu'à présent, nous avons supposé que l’utilité est fonction de la consommation d’un seul bien. On avait en effet posé que n = 1. Abandonnons ce cas particulier et plaçons- nous dans le cas plus générale où les besoins des individus s’exprime à l’endroit de plusieurs biens de sorte que l’on ait : UT= f (x1, x2, x3,..., xn) Par un raisonnement identique au cas précédent, il est possible de déterminer la variation de l’utilité que procure au consommateur la variation de la quantité consommée de chacun des biens. On applique pour cela le concept connu en mathématique sous le nom de dérivée partielle. Pour simplifier, supposons, dans un premier temps que n = 2.Cela signifie que la fonction d’utilité de I prend la forme d’une fonction à deux variables. Soit x la première variable et y la deuxième. On peut donc écrire Ut = f (x, y). 1. La dérivée partielle de Ut par rapport à x qui exprime, on le sait maintenant, l’utilité marginale procurée par le bien X est donnée par l’équation :  UT’ x = UMx = f ’x (x ,y) = lim Ut/x = Ut/x x 0 2. De même, la dérivée partielle de Ut par rapport à y qui exprime l’utilité marginale procurée par le bien y est donnée par l’équation :  UT’y = UMy = f ’y (x, y) = lim Ut/y = Ut/y y 03. Finalement, lorsque Ut = f (x, y) on a :   UMx = Ut/x et UMy = Ut/y et en généralisant à n biens, on aura pour UT = f (x1, x2, x3,...,xn) :  UMx1 = Ut/x1 ; UMx2 = Ut/x2 ; UMx3 = Ut/x3 ;...... ; UMxn = Ut/xn IV. Les courbes d’indifférence ou d’iso-utilité 1. Reprenons la fonction Ut = f (x1, x2, x3, ..., xn ). Elle signifie, rappelons le, que l’utilité est fonction du complexe de biens C = (x1, x2, x3, ..., xn). Supposons que ce complexe de biens se réduise à la combinaison de deux biens X et Y tels que : Ut = f( C ) = f (x, y ). Considérons alors toutes les combinaisons telles que Ut = U0 par exemple, U0 = f (C1) = f (C2). Considérons de même toutes les combinaisons telles que Ut = U1 U0 ; par exemple U1 = f (C3) = f (C4).  On dira que les combinaisons de biens qui procurent un même niveau d’utilité sont situés sur une même courbe d’indifférence. 2. Sur la figure ci - après, les combinaisons de biens C1 et C2 sont situés sur la même courbe : ils procurent au consommateur I, le même niveau d’utilité U0.De même, les combinaisons de biens C3 et C4 sont situés sur une même courbe : ils procurent au consommateur I le même niveau d’utilité U1.  y U0  U1 y1 C1  y2    y3 C3 C2  y4 C4 x x3 x1 x2 x4 Fig.1 Courbes d’indifférence ou d’iso-utilité  3. La courbe d’indifférence peut donc être définie, dans le cas général (où C = x1, x2, x3, ..., xn) comme le lieu de tous les complexes de biens qui procurent à l’individu I le même niveau d’utilité. Les courbes d’indifférence (CI) possèdent trois propriétés importantes : Les CI ont une inclinaison ou pente négative :ce sont des courbes « descendantes » représentant des fonctions décroissantes. Les CI d’un même individu ne peuvent se couper : dans le cas contraire cela signifierait qu’il existe deux niveaux d’utilité pour une même combinaison de biens, ce qui serait contraire au postulat (P1) de la fonction d’utilité tel que défini plus haut. Les CI sont convexes par rapport à l’origine des axes de coordonnées : une diminution de la quantité de l’un des deux biens est compensée par une augmentation de la quantité consommée de l’autre bien. V. Le taux marginal de substitution (TMS) Les courbes d’indifférence (CI) expriment, nous l’avons vu un même niveau d’utilité pour des combinaisons différentes de deux biens X et Y. Il est donc utile pour le consommateur de définir un critère ou plus précisément l’instrument qui va lui permettre de modifier les combinaisons de consommations de ces biens tout en conservant le même niveau d’utilité. Cet instrument est le taux marginal de substitution ou TMS, en abrégé. 1. Le TMSx à y permet de déterminer la quantité du bien Y à laquelle renonce le consommateur pour lui substituer une certaine quantité du bien X de telle sorte qu’il conserve le même niveau d’utilité. 2. Le TMSy à x permet à l’inverse de déterminer la quantité du bien X à laquelle renonce le consommateur pour lui substituer une certaine quantité du bien Y de telle sorte qu’il conserve le même niveau d’utilité. 3. Nous savons qu’une variation des quantités consommées des biens X et Y, implique normalement une modification du degré d’utilité. Appelons dU la modification de l’utilité totale UT= f (x, y), suite aux variations dx et dy respectivement de la quantité x du bien X et de la quantité y du bien Y. Par ailleurs on se rappelle que UMx = Ut/x et UMy = Ut/ y comme on se rappelle que les utilités marginales représentent les variations de l’utilité totale suite à une variation unitaire de x (ou de y). La variation de l’utilité totale dU sera donc égale à : dUt = UMx.dx + UMy.dy ou encore dUt = (Ut/x).dx + (Ut/y).dy, équation qui représente la différentielle totale de l’équation UT= f (x, y) Si le consommateur I désire conserver le même niveau d’utilité tout en substituant une quantité de X à une quantité de Y, cela signifie qu’il reste sur la même courbe d’indifférence. Cela signifie aussi que UT= f (x, y) = U0, où U0 reste constant lorsque changent les quantités consommées. On a alors dUT = 0 (la variation de l’utilité totale est égale à 0). Autrement dit : (Ut/x).dx + (Ut/y).dy = 0 (Ut/x).dx = - (Ut/y).dy  Ce qui donne, en définitive :( Ut/x) - dy UMx ( Ut/y) dx UMy Commentaires 1. L’expression précédente montre que le rapport des utilités marginales est égal à l’opposé de la dérivée de la fonction y = f (x) 2. La fonction y = f (x) donne la variation de la quantité y quand varie la quantité x. L’expression dy/dx est la pente de la courbe d’indifférence représentative de la fonction y = f (x) : elle est donc négative (cf. supra, propriété (41) des CI).  Par définition, la quantité (- dy/dx ) est le taux marginal de substitution de X à Y. On vient de démontrer que le TMSx à y est égal au rapport des utilités marginale des deux biens. Chapitre II : La maximisation de la fonction de l’utilité I. Position ou formalisation du problème Nous avons vu que l’objectif du consommateur était d’optimiser son utilité. Or, sa fonction d’utilité dépend des quantités des biens Xn auxquels il peut accéder. On a en effet Ut = f(x1, x2, x3,...xn). L’acquisition de quantités déterminées dépend des prix (pi) de ces biens et de la consistance de son revenu (R). S’il décide de consacrer son revenu à l’achat de tous les biens Xn on aura : R=p1x1+p2x2+p3x3+...+pnxn. Cette égalité est dite « équation du budget » ou encore « équation du revenu »). Le problème du consommateur est donc un problème lié, (on dit aussi « sous contrainte ») . Il cherche en effet, à maximiser son utilité en tenant compte à la fois de son revenu et des prix des biens que lui impose le marché. Ce problème transcrit mathématiquement s’écrit :  Max. Ut = f (xn) n S/C R = pnxn i Supposons pour simplifier que Ut = f (x, y) et que les prix des biens X et Y soient respectivement : px et py ,le problème général précédent s’écrira (dans ce cas particulier où les choix du consommateur sont limités à deux biens) : Max. Ut = f (x, y) S/C R = x.px + y.py Dans ce cas particulier, l’équation du revenu du consommateur représente l’équation d’une droite dite « droite du budget ». II. Les conditions de maximisation de la fonction de l’utilité : Reprenons l’équation de la droite du budget du consommateur I. On se souvient que dans le cas de deux biens X et Y, elle était de la forme : R = x.px + y.py. Tirons de cette équation, la valeur de y, on aura : y =R-xpx/Py Reprenons de même, la fonction d’utilité Ut = f (x , y). En remplaçant y par sa valeur dans l’expression de U, on obtient UT = f (x, (R - x.px )/py ) qui est devenu une fonction à une seule variable. Par ailleurs, on sait qu’une fonction de la forme Ut = f (x) admet un maximum au point x0 lorsque : 1. La dérivée première Ut’ est égale à 0. C’est à dire Ut’ = 0 (condition de 1er ordre) 2. La dérivée seconde Ut’’ est négative. C’est à dire Ut’’ < 0 (condition de 2ème ordre) Exemple à titre illustratif La fonction d’utilité d’un consommateur supposé rationnel, est donné par l’équation Ut = 2xy.Soit px = 2 DA le prix du bien X et py = 1 DA le prix du bien Y. Le consommateur dispose par ailleurs d’un revenu R égal à 10 DA qu’il décide de consacrer entièrement à l’achat des biens X et Y. Quelles vont être les quantités du bien X et du bien Y qui maximisent l’utilité de ce consommateur ? Solution 1ère méthode : Méthode de substitution ( dite encore méthode directe) On a R = x.px +y.py c’est à dire R = 2x +y d’où l’on tire : y = R - 2x (1 ) Remplaçons y par sa nouvelle valeur dans l’expression de U (équation (1)). On obtient : Ut = 2x (R-2x) ou encore Ut = - 4x2 +2xR (2) Comme on R = 10, on peut écrire : U = - 4x2 +20x à partir de l’équation (2 ). La dérivée première de l’équation U ci - dessus est alors :  Ut’= -8x +20 (3) d’où, quand Ut’ = 0 il vient :  x = 20/8 = 5/2 = 2,5 R  emplaçons donc x par sa valeur dans l’équation (1) on aura :y = R- 2.(5/2) = R-5 ; comme R= 10 on obtient finalement : y = 10- 5=5 Le couple (x, y) tel que x =5/2 et y =5 est le point qui annule la dérivée Ut’ = 0. Vérifions que Ut’’ < 0.Reprenons l’équation (3 ). Sa pente est égale à (-8). Ceci montre que la dérivée de Ut’ est bien négative : CQFD. La combinaison de biens X et Y telle que x =5/2 et y = 5 est bien la combinaison qui permet au consommateur de maximiser sa fonction d’utilité, c’est à dire constitue la solution au problème lié présenté sous la forme :  Max. Ut = 2xy S/C R = 2x +y Il existe une autre méthode de résolution de ce type de problème « sous contrainte : elle est dite « méthode de Lagrange ». 2ème méthode : Méthode de LAGRANGE On démontre que les problèmes d’optimisation sous contrainte de la forme : Max.(Min.) f (x1,x2, x3,...,xn) S/C g (x1,x2,x3,...,xn) = 0 (1) Admettent des solutions identiques à celles des fonctions de type :  F(x1,x2,x3,...,xn) = f (x1,x2,x3,...,xn) + g (x1,x2,x3,...,xn) ( 2) est appelé « multiplicateur de Lagrange ». Il joue le rôle d’une variable comme les autres dans l’expression de la fonction (2) ci dessus. Nous préciserons par la suite sa signification économique dans le cadre du problème particulier de la maximisation de la fonction d’utilité d’un consommateur. La condition nécessaire pour que la fonction (2) admette un maximum, est que ses dérivées partielles par rapport à x1, x2, x3,..., xn et s’annulent en même temps. Le problème consiste donc à résoudre le système d’équation à (n+1) variables de la forme :  Fx1’ = 0 Fx2’ = 0 (S) Fxn’ = 0 F’ = 0 Reprenons notre exemple précédent. On avait : |
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