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Max. Ut =f( x, y)

S/C R = x.px + y.py (1)
Formons la fonction (2) de la même manière que précédemment. Il vient :
F(x, y) = 2xy +  (R-2x-y) (2)

Pour maximiser la fonction d’utilité du consommateur, il suffit donc de résoudre le système d’équation (S ’) ci après :

Fx’ = 2y - 2 = 0

Fy’ = 2x -  = 0 (S ’)

F’ = 10 - 2x - y = 0

Après calcul, on obtient : x = 5/2 ; y = 5 et = 5. Cette solution correspond bien au résultat trouvé par la première méthode.

Signification économique du multiplicateur de LAGRANGE 
Reprenons le système d’équation (S ’) dans le cas général. A partir des deux premières équations de (S ’),il vient :

Fx’ = Utx’ - px = 0   = Utx’/px = (Ut/x)/px

Fy’ = Uty’ - py = 0   = Uty’/py = (Uty)/py

Ces résultats montrent que le multiplicateur  est égal aux utilités marginales des biens X et Y pondérées par leur prix
Par ailleurs, comme on a : Utx’/px = Uty’/py  Utx’/ Uty’ = px/py on peut énoncer que :
Le consommateur atteint le niveau de son utilité maximale lorsque les utilités marginales pondérées par les prix sont égales ou encore :
A l’équilibre, le rapport des utilités marginales est égal au rapport des prix des biens consommés.

Revenons à la troisième équation de (S ’). On peut l’écrire dans le cas général, de la manière suivante : F’= R - x .px - y. py = 0. Ce qui revient à écrire que R = x .px + y. py . Si on dérive cette expression de R successivement par rapport à x puis par rapport à y, il vient  R/x = px et R/y = py.
On peut donc écrire : Utx’/ Uty’ = Ut/x/Ut/y puisqu’on sait déjà que :

Utx’/ Uty’ = px/py. Il vient alors: R/x / R/y=Ut/x/ Ut/y. Enfin, on a 

Ut/x = px  = (Ut/x)/px et Ut/y = py   = (U/y)/py (en vertu de la résolution des deux premières équations de S ’). Or, on sait aussi que : R/x = px et R/y = py on peut alors écrire que :  = (Ut/x)/px = (Ut/x)/ (R/x) de même  = (Ut/y)/ (R/y) et en simplifiant dans les deux cas, il vient finalement :

= Ut/R
Ce qui signifie que  exprime la variation de l’utilité totale quand le revenu varie d’une unité.
III. Représentation graphique de l’optimum du consommateur 
Nous savons maintenant que la fonction d’utilité d’un individu peut être exprimée graphiquement par une « carte d’indifférence », c’est à dire par plusieurs courbes d’indifférence qui indiquent les différents niveaux d’utilité obtenus à partir de quantités variables des biens consommés.
Or les niveaux d’utilité varient en fonction de la variation du montant du revenu R lorsque les prix des biens ne changent pas eux - mêmes (cette. question de l’effet de la variation des prix sera examinée plus loin, v. infra).

Reprenons pour l’instant, notre exemple précédent où :

UT = 2xy et R = 10 avec px =2 et py = 1
Supposons que le consommateur I décide de consacrer entièrement son revenu R à la consommation du seul bien X, il pourra acheter au plus x = R/px = 5 unités du bien X. Ce point peut donc être représenté sur un graphique par le couple (5, 0).
Dans le cas où au contraire, il décide de ne consommer que du bien Y, il obtiendra au plus une quantité y = R/py = 10 unités du bien Y. Ce point peut être représenté sur le même graphique par le couple (0, 10 ). En joignant ces deux points on obtient la représentation graphique de la « droite de budget » du consommateur I.




Le point E représente l’optimum du consommateur, tel que nous l’avons calculé précédemment.

Au point E (x =5/2, y = 5), l’utilité maximale Ut =2xy = UE =25.
y

UE = 2xy =25


E

5




0 5/2 x

Fig.2 Equilibre du consommateur



Le point sur le graphique montre que l’équilibre du consommateur I est atteint au point de tangence entre la courbe d’indifférence Ut = 25 et la droite de budget y = R/py - x.px/py = - 2x + 10

IV. Les variations de l’équilibre du consommateur 
1. Effet de la variation du revenu : Construction de la courbe consommation-revenu (courbe d’Engel) :

Le point d’équilibre E déterminé précédemment a été obtenu dans des conditions de prix et du revenu donnés. Aussi, est-il intéressant d’examiner la situation où se modifie la contrainte de revenu.
Le consommateur étant rationnel, sa consommation d’équilibre va être modifiée si son revenu R venait à changer. Graphiquement cela signifie que sa droite de budget va se déplacer :

- « Vers le haut » lorsque R’> R ou

-« Vers le bas » lorsque R’’< R

y R’> R > R’’  UE’ > UE > UE’’

UE




(C1)




UE E’

UE’’ E



E’’

O x

Fig.3 : Courbe consommation – revenu ( CCR)

Ou Courbe d’Engel



La courbe de niveau de vie (ou courbe consommation-revenu) appelée aussi courbe d’Engel est formée des points de tangence (qui expriment les points d’équilibre successifs) entre les différentes courbes d’indifférence et les droites budgétaires. La courbe de revenu coupe les axes de coordonnées au point O car pour R = 0, les consommations des biens X et Y sont nulles (R= 0 x = 0 et y = 0)

2. Effet de la variation du prix de l’un des biens : Construction de la courbe consommation – prix ( CCP)  :
De la même manière que le consommateur a été placé dans l’hypothèse probable de la variation de son revenu, imaginons ici l’hypothèse de la variation du prix sur le marché de l’un des deux biens.

Supposons que c’est le prix du bien X qui varie.

Lorsque px diminue, tel que px’< px et si le consommateur I utilise tout son revenu R à l’achat de X, il pourra disposer d’une quantité plus importante de X. Soit x’ cette nouvelle quantité.
Lorsque par contre, le prix px augmente, tel que px’’> px et si le consommateur utilise tout son revenu à l’achat de X, il disposera d’une quantité moins importante de X. Soit x’’ cette nouvelle quantité.
Comme entre temps le prix de Y n’a pas varié, les droites de budgets obtenues auront pour point commun le point où la consommation de Y est maximale (cas où il consacre la totalité de son revenu à l’achat de Y uniquement).

Représentons graphiquement les situations que nous venons d’envisager, on obtient la fig.4 ci-après :



y

R/py x’ = R/px



x’’= R/px’’

E’ E E’’

(C2) x = R/px

x




x’ x x ’’

Fig.4 : Courbe consommation-prix (CCP)



La courbe qui joint les points E’, E, E’’ est appelée courbe consommation - prix. Elle exprime l’effet de la variation du prix de l’un des deux biens sur les quantités consommées des deux biens (l’autre prix et le revenu R restant constants).

La courbe (C2) montre que plus le prix augmente, plus la quantité du bien X que le consommateur (I) pourra s’acheter avec son revenu R (constant), diminue. Ce que l’on peut résumer schématiquement par :



Si Px  Dx




La demande d’un bien est une fonction décroissante de son prix






Si Px  Dx

La courbe (C2 ) part du point de coordonnées (0 , R/Py ) car , en supposant que Px continue à augmenter, il arrivera un moment où l’individu I ne pourra plus acquérir le bien X, cela voudra dire que dans ce cas extrême, il consacre la totalité de son revenu R à la consommation de Y et dans ce cas le point d’équilibre, (E) va se confondre avec le point (0, R/py ).
Cela montre qu’en réalité, la demande du bien X dépend du prix de ce bien (px) du revenu (R) et du prix de tous les autres biens Y (py) en plus évidemment du goût (G).
On exprime donc ce résultat par la relation générale :




Dx = f (R, px, py, G)


Chapitre III : Fonction de la demande et notion d’élasticité de la demande 

Expression, construction et déplacement de la courbe de demande 
1. L’expression de la demande

Rappel : on vient de montrer que la quantité demandée d’un bien X qu’un individu I (le consommateur I ) est « capable » de s’acheter au cours d’une période déterminée, dépend de plusieurs éléments (son prix px, le prix des autres biens py, son revenu R et bien sûr, ses goûts G). La demande Dx peut donc être formalisée de la manière suivante :




Dx = f (px, py, R, G,) (1)
Comme G est une donnée naturelle, propre à chaque individu, la demande d’un bien se détermine par rapport aux autres éléments, c’est à dire par rapport aux seules variables économiques. On aura donc :




D = f (px, py, R) (2)
Remarque: Si l’on admet que dans la réalité il existe n biens parmi lesquels I effectue ses choix, , la variable (py) va symboliser le prix de tous les autres biens Xn -1 dans la formulation de l’équation (2).
D’autre part, si l’on considère la période au cours de laquelle R et py sont contants, la demande du bien X s’exprime alors comme une fonction de la seule variable px. On aura donc :

D = f ( px) (3)
Comme le revenu R de I est limité, si px augmente, alors Dx diminue et si px diminue, alors Dx augmente. Ce résultat, nous l’avons interprété de la manière suivante :



La demande d’un bien est une fonction décroissante de son prix.

Dire que la demande est une fonction décroissante du prix, cela revient à dire que la pente de l’équation Dx = f (px ) est négative. Cela signifie aussi que la courbe représentative de la demande est décroissante.
2. Construction et déplacement de la courbe de demande
Exemple : Soit un consommateur I dont les quantités demandées du bien X varient de la manière ci - après (T1) :

T1 : Variation de la quantité demandée du bien X en fonction de son prix px


Dx

1

2

3

4

5

Px

10

8

6

5

3

Point/ Graphe

A

B

C

D

E


En joignant les points A, B, C, D et E représentés dans un repère orthonormé, on obtient « la courbe de demande » (d) du consommateur I pour le bien X ci après : (cf.fig.5).





Le déplacement de la courbe de demande de (d) à (d ’) ou (d ’’)

indique un changement dans les conditions de la demande.


Dx

8

7 (d ’’)

6 (d )

5 E

4 D

3 (d ’) C

2 B

1 A

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 px
Fig.5 : Courbe de demande
Si l’on faisait varier l’une des variables de la fonction Dx = f (px, py, R, G), autre que la variable px, la courbe représentative de Dx va se déplacer de (d) à (d ’) ou (d ’’) :


On dit qu’un changement des conditions de la demande entraîne un déplacement de la courbe de demande, contrairement à un déplacement le long de la courbe qui signifie une variation des quantités demandées consécutivement à la variation du prix du bien.

3. Notions de bien ordinaire et bien inférieur 

A. Lorsqu’un accroissement (une baisse) du revenu R d’un consommateur I entraîne une augmentation (une diminution) de la demande du bien X celui ci est un bien ordinaire pour le consommateur I.

B. Lorsqu’une augmentation du revenu R d’un consommateur I n’entraîne pas d’accroissement de la demande du bien X, le bien X est dit bien inférieur pour le consommateur I.


1. Un déplacement (« vers le haut » ou « vers le bas ») de la courbe de demande du bien X passage de (d) à (d ’) ou à (d ’’) signifie que X est un bien ordinaire pour I.

2. Le déplacement de la courbe de demande indique une variation dans le pouvoir d’achat (PA) du consommateur I.

3. Un déplacement le long de la courbe de demande (d ) du bien X indique une variation du prix (px) sur le marché de X.


4. Notion de biens complémentaires et biens équivalents 

A. Biens complémentaires 
Dans l’hypothèse où le prix (px) du bien X et le revenu R du consommateur (I) restent constants, le bien Y sera dit complémentaire du bien X si une augmentation du prix (py) du bien Y entraîne une diminution de la quantité demandée du bien X. C’est le cas par exemple du café (bien X) et du sucre (bien Y) : Comme la consommation de sucre (Y) accompagne la consommation de café (X), l’augmentation du prix (py) du sucre va entraîner la diminution de la demande de café.

B. Biens équivalents
Dans l’hypothèse où le prix (px) du bien X et le revenu R du consommateur (I) restent constants, le bien Y sera dit équivalent ou substituable au bien X si une augmentation du prix (py) du bien Y entraîne une augmentation de la quantité du bien X. C’est le cas par exemple du café (X) et du thé (Y) : Comme la consommation de café (X) procure le même effet que la consommation de thé (Y), l’augmentation du prix (py) du thé impliquera une augmentation de la demande de café (X).
5. La demande du marché 
La demande du marché ou demande globale d’un bien X indique la quantité totale demandée par tous les consommateurs de ce bien au cours d’une période (P) donnée . Elle est égale à la somme des demandes individuelles exprimées par l’ensemble des consommateurs à un moment donné.

Si Dx  Dx’  P  P’




Hypothèse : R et px constants






Dx D x

py  Dx  Dx

Dx’ py Dx







Biens complémentaires Biens équivalents











R  px, constant R  px , constant R  px , constant




Dx’ Dx

Dx

Dx Dx

Dx


Bien ordinaire Bien ordinaire Bien inférieur



Consommateur I1 Consommateur I2 Demande du marché


D1x D2x D = D1x + D2x


II. Notion d’élasticité de la demande 
1. Définitions

A. L’élasticité-prix de la demande mesure la variation relative de la quantité demandée d’un bien X consécutive à la variation relative de son prix (px) .Ainsi, lorsque D = f (px), alors on a :




EDx/px = x/Dx px/px






EDx/px = x/px .px/Dx
Remarques 
1. On sait que Dx=f(px) est une fonction décroissante du prix. L’élasticité - prix de la demande est donc négative puisque Dx et px varient en sens contraire.

2. On sait aussi que d’une manière générale, on a Dx = f (R, px, py). On peut ainsi calculer un coefficient d’élasticité - revenu et un coefficient d’élasticité - prix croisée de Dx.
B. L’élasticité-revenu de la demande mesure la variation relative de Dx consécutive à une variation relative du revenu R. Ce coefficient prend la forme mathématique ci après :



EDx/R = Dx/Dx R/R





EDx/R = Dx/R .R/Dx

C. L’élasticité prix-croisée ( de substitution) de la demande du bien X mesure la variation relative de la demande Dx consécutive à une variation relative du prix py du bien Y



EDx/py = Dx/Dx py/py






EDx/py = x/py .py/Dx


2. Demande élastique, demande inélastique, demande unitaire 
Remarques préliminaires
1. On sait que l’élasticité de la demande par rapport au prix d’un bien est négative du fait que Dx et px varient en sens contraire. Pour ne pas avoir à compliquer les calculs, il suffit de multiplier par (-1) l’expression (EDx/px). On aura ainsi :

(- EDx/px) = - Dx/px .px/Dx > 0 (1)
2. On définit l’élasticité de la fonction Dx = f (px) comme étant la limite du rapport de l’accroissement relatif de Dx à l’accroissement relatif de px .C’est à dire :

EDx/px = lim. Dx/Dx / px/px = px/ Dx .dDx/dpx = px/Dx .f ’px

px  0 (2)
b. On dira que la demande Dx = f (px) est élastique lorsque (-EDx/px) >1
c. On dira que la demande Dx = f (px) est inélastique lorsque (-EDx/px) <1

d. On dira que la demande Dx = f (px) a une élasticité unitaire lorsque

(- EDx/px) =1
3. Elasticité ponctuelle et élasticité d’ARC 
Définitions

On appelle élasticité d’arc, l’élasticité prix de la demande entre deux points de la courbe de demande dont l’expression est de la forme Dx = f (px). L’élasticité d’arc n’a qu’une valeur approximative qui devient d’autant plus précise que l’arc est plus petit, c’est à dire que les deux points se rapprochent l’un de l’autre (px  0  EDx/px = px/Dx. f ’px) jusqu'à ne plus représenter qu’un point limite.



Or d’après l’équation (2) ci - dessus l’élasticité prix de la demande peut être calculée en tout point de la courbe de demande. Sa valeur ponctuelle est donnée justement par la formule (2).
On appellera alors élasticité ponctuelle l’élasticité en un point quelconque de la courbe de demande du bien X représentative de la fonction Dx = f (px). Elle est donnée par la formule générale :




EDx/px = f ’px .px/Dx

4. Elasticités partielles de la demande 

On a défini précédemment la notion d’élasticité de la demande en considérant que celle - ci était une fonction d’une seule variable (px). Or nous savons qu’en réalité, la quantité demandée d’un bien X dépendait à la fois du prix de X et des prix des autres biens.

On écrira donc d’une manière générale Dx = f (px, py) où (py) symbolise le prix de tout autre bien que X.

A partir de cette équation on peut donc calculer les coefficients d’élasticité partielle de la demande (Dx) par rapport à toutes les variables (px) et (py).

Ainsi, on aura :
-Elasticité
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