Le cours de
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P = f (k, l) (I) La relation (I) est la fonction de production de l’entrepreneur (E). Elle exprime le fait que le volume de production (ou la quantité) du produit (p) dépend des quantités (k) et (l) de facteurs utilisées. Comme la fonction d’utilité du consommateur, la fonction de production est supposée continue sur son intervalle de définition. Cela implique que les quantités de facteurs de production sont divisibles «à l’infini » et ce même s’il n’est pas « tout à fait » réaliste de parler d’utilisation d’un huitième d’ouvrier ! C’est une hypothèse de travail dont la conséquence est de dire que :  La quantité du produit (p) peut - être obtenue à l’aide d’un nombre infini de combinaisons de facteurs K et L. Dés lors, cette hypothèse de la continuité permet de définir deux nouveaux concepts : -le concept de productivité physique des facteurs et -le concept d’iso - produit. 1. Les concepts de productivité physique des facteurs A partir de la relation « technique » qui relie le volume du produit (p) aux quantités de facteurs k et l, on définit les concepts de productivité totale, productivité moyenne et productivité marginale d’un facteur de production. A. La productivité totale d’un facteur de production : Reprenons la relation (I) ci dessus et supposons donnée la quantité k du facteur K. Soit k0 cette quantité constante de K. la fonction de production précédente devient fonction d’une seule variable, la quantité l du facteur L. Elle s’écrit : P=f (k0 , l) (2)  La relation (2) exprime le fait que le volume de production (p) varie en fonction de la seule variable l puisque k0 est une constante. Elle représente la productivité totale du facteur L. Elle est obtenue à l’aide d’une combinaison d’une quantité variable du facteur L et d’une quantité constante du facteur K. B. La productivité moyenne d’un facteur de production Si la relation (2) représente la productivité totale du facteur L, alors on en déduit que la productivité moyenne du facteur K sera : PM = p/l =f (k0, l)/l (3)  La relation (3) montre que la productivité moyenne du facteur L est égale au rapport de la quantité totale (p) du produit sur la quantité (l) du facteur L utilisée pour obtenir (p). C. La productivité marginale d’un facteur La productivité marginale d’un facteur de production exprime la variation de la productivité totale de ce facteur lorsque la quantité utilisée de ce facteur. Reprenons la fonction de production donnée par la relation (I) ci dessus. Nous avions supposé qu’elle était continue sur son intervalle de définition. De la relation (I), on avait tiré la relation (2) qui exprime le fait que le volume de la production est fonction de la seule variable (l). Appelons l la variation du facteur L et p la variation correspondante de p. On définit la productivité marginale du facteur L comme la limite du rapport p/ l quand l tend vers 0. Autrement dit, si pmg désigne la productivité marginale du facteur L, on aura :  Pm = lim p/ l = p/l = f ’l (k0, l) l 0 (4) La productivité marginale d’un facteur L est égale à la variation de la productivité totale consécutive à la variation d’une unité de la quantité (l) utilisée de ce facteur. Elle s’exprime à l’aide de la dérivée partielle de la fonction de production (I). 2. Illustration graphique Soit p = f (k0, l) la fonction de production telle que:
Interprétation du tableau 1. L’augmentation de la quantité de facteur (l) entraîne dans un premier temps, un accroissement plus que proportionnel de la quantité de produit (p). Dans le même temps, la productivité marginale est croissante : C’est la phase 1 de la production. 2. Très rapidement, on voit que la quantité de produit augmente moins que proportionnellement, à mesure que la quantité du facteur (l) augmente. Durant toute cette phase, la productivité marginale est décroissante :C’est la phase 2 de la production, qui exprime « la loi des rendements décroissants ». Le raisonnement, à la base de cette loi des rendements décroissants est le suivant (cf. l’ouvrage déjà cité du Pr. A.Benachenhou p.282.) : L’utilisation croissante d’un facteur variable (l) combinée avec un facteur de production fixe va entraîner probablement dans un premier temps (Ph.I) un rendement croissant (une production (p) plus que proportionnelle) puis celle ci va probablement, dans un second temps (Ph.II) se ralentir et croître moins rapidement que l’augmentation des quantités de facteurs utilisées. C’est ce qu’expriment le tableau et le graphique précédent. Ainsi, la loi des rendements décroissants (certains auteurs préfèrent parler de « loi de la productivité marginale décroissante » (Cf. J. Lecaillon, in Analyse micro économique : Ed. Cujas Paris 1967, p.83) signifie que la phase où la production est la plus efficace est celle où l’augmentation des quantités de facteurs production implique la décroissance de la productivité marginale. Ainsi sur le graphique (cf.7), on remarque : -La courbe représentative de Pmg passe par un point maximum correspondant au point d’inflexion de la courbe représentative de Pt (à partir duquel, l’augmentation de la production est moins que proportionnelle à la quantité de facteur utilisée). La courbe Pmg commence alors à décroître jusqu'à s’annuler au moment où Pt atteint son maximum. La courbe représentative de Pmg coupe la courbe PM (du produit moyen) en son point maximum ce que l’on démontre assez facilement : En effet, on sait que la courbe PM = Pt/l = f(k0,l)/l, atteint son maximum lorsqu’on a : (Pt/l)’ = 0 c’est à dire lorsque f’l(k0,l) = 0.  Or, f’l(k0,l) =0 l. f’(k0,l) - f(k0,l)/l2 = l. f’(k0,l)/l2 - f(k0,l)/l2 = 0 d’où l’on tire ainsi que :  f’(k0,l)/l2 = f(k0,l)/l2 soit, en simplifiant on obtient : f’ (k0,l)/l = f(k0,l)/l2 ou encore f’(k0,l) = f(k0,l)/l CQFD On sait en effet que :  f’(k0,l) = Pm et f(k0,l)/l = PM II Les courbes d’iso - produit 1. Définition et représentation graphique Dans ce qui précède, nous avions considéré la relation fonctionnelle p = f(k0, l) entre la quantité produite (p) et un facteur de production (l) qui variait pendant que l’autre (k) restait constant (noté k0). Dans l’hypothèse de la variation des deux facteurs, il est plausible, tout en restant dans la courte période, d’envisager des combinaisons de facteurs (k, l) qui permettent d’obtenir le même volume (p0) de production. La relation fonctionnelle devient dans ce cas :  P0 = f(k, l) Donc la représentation graphique, appelée courbe d’iso-produit ou isoquants, peut-être définie comme la représentation de toutes les combinaisons de facteurs K et L qui donnent le même niveau de production.       k P0 p2  p1 p1 < p02   k2  k1  k0 l1 l2 l0 l Fig. 8 : Courbes d’iso - produit. Les courbes d’iso-produit (isoquantes) sont de même nature que les courbes d’indifférence de la théorie du consommateur. En particulier, elles permettent de définir le taux marginal de substitution des facteurs lorsque l’on se déplace le long de la courbe d’iso - produit, c’est à dire, lorsque varient les combinaisons de facteurs sans que cela n’implique une variation de la quantité produite. 2. Le taux marginal de substitution technique des facteurs de production (TMST) Comme dans le cas du consommateur, il est « intéressant » pour le producteur rationnel de savoir à quel taux il va pouvoir substituer les facteurs de production de manière à garder le même niveau de production, c’est à dire de faire varier la combinaison de facteurs tout en restant sur la même courbe d’iso - produit. Pour ce faire, il va déterminer le taux marginal de substitution technique, en raisonnant à partir de la différentielle totale de la fonction de production p = f(k, l). On a en effet :  dp = p/k. dk + p/l. dl Comme par hypothèse p = p0 = constante (sur l’iso quant), on a donc :  p/k d  p = 0 d’où l’on tire : p/l. dl = - p/k. dk = - dl/dk p/l La quantité (-dl/dk) qui représente l’opposé de la pente de la courbe iso - produit est appelée taux marginal de substitution technique (noté TMST). Le TMST est égal au rapport des productivités marginales des facteurs de production puisque l’on sait que p/l = Pm (l) et p/k = Pm (k). Chapitre II : La fonction de production de longue période Rappelons que nous avons « opposé » la courte période à la longue période en faisant valoir que dans l’hypothèse de la LP, tous les facteurs de production, y compris la capacité de production installée, est des facteurs variables. Autrement dit, en LP, il n’existe pas de facteurs fixes. I. Notion de « rendement d’échelle » ou rendement dimensionnel On dira que l’échelle de la production a varié, lorsque les quantités de facteurs de production utilisés par le producteur varient simultanément dans la même proportion. On parlera également dans ce cas du changement de la taille de l’entreprise. Il est ainsi intéressant de savoir comment varie la production lorsque change la taille de l’entreprise. Considérons un entrepreneur qui décide à un moment déterminé de modifier dans la même proportion les quantités de ses facteurs de production (équipements, travail et matières premières). Quelle va être la quantité produite dans ces nouvelles conditions ? C’est là en réalité la question des rendements d’échelle qu’il est amené à se poser. Supposons par exemple une variation des quantités de facteurs passant du simple au double : Si, lorsque la quantité de facteur passe du simple au double et que parallèlement la quantité produite augmente dans la même proportion, alors on dira que les rendements sont constants. Ce cas est parfaitement plausible, il n’est cependant pas systématique. En effet, pour différentes raisons (techniques, organisationnelles et managériales, les modifications des quantités de facteurs dans une certaine proportion n’induisent pas toujours une variation directement proportionnelle de la quantité produite. Deux autres possibilités peuvent se présenter : A. Si la variation de la quantité produite est plus que proportionnelle à la variation des quantités de facteurs utilisés, on dira que les rendements sont croissants. B. Si au contraire, la variation de la quantité produite est moins que proportionnelle à la variation des quantités de facteurs utilisés, on dira que les rendements sont décroissants. II. Les fonctions de production homogènes 1. Définition d’une fonction de production homogène Soit p = f (k, l) une fonction de production à deux variables k et l. On dira que cette fonction est une fonction de production homogène de degré () , ( R) si  a R+- 0 , on a : f (ak, al) = a . f(k, l) = a.p On énonce différemment, qu’une fonction de production est homogène de degré () lorsque la multiplication des facteurs par une constante (a) entraîne la multiplication de la fonction par la valeur (a) . 2. Fonctions de productions homogènes et rendements à l’échelle Rappelons que si on a : f(ak, al ) = a f(k, l) = a f(k, l) = a. p, alors p = f(k, l) est dite fonction homogène de degré (). Supposons une fonction de production p = f(k, l) homogène de degré 1. D’après ce qui précède, on peut écrire que : a R+ - (0) on aura f(ak, al) = a. f(k, l) = a.p. Ce qui signifie qu’en multipliant la quantité de facteurs par a , la quantité produite a été, elle, multipliée par la quantité a a ( on sait en effet que 1, on a a) ; c’est à dire que la quantité obtenue du produit est plus que proportionnelle à la quantité des facteurs utilisés : dans ce cas, on dira que les rendements sont croissants. Exemple : Posons = 2 et envisageons le cas où le producteur décide de tripler la quantité de ses facteurs de production : c’est à dire que a = 3). La fonction de production étant par hypothèse, une fonction homogène, on peut donc écrire : f(3k, 3l) = 32 .f(k, l) = 9p. Ce qui montre qu’en multipliant par 3, les facteurs de production, le producteur a multiplié par 9 la quantité produite. Les rendements sont plus que proportionnels à la quantité de facteurs utilisés Supposons maintenant que la fonction de production p= f (k, l) est homogène de degré =1. Multiplions les quantités de facteurs par a 0 ; on aura , toujours d’après la définition de la fonction homogène : f(ak, al) = a1. f(k, l) = a .p. Ce qui signifie qu’en multipliant la quantité de facteurs par a , la quantité obtenue produite a été, elle, multipliée par la même proportion a. (on sait en effet que a , a1 = a) ; c’est à dire que la quantité obtenue du produit est proportionnelle à la quantité de facteurs utilisés : dans ce cas, on dira que les rendements sont constants. |
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