Le cours de
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Exemple : Supposons que dans ce cas, le producteur décide également de tripler la quantité de ses facteurs de production. On peut écrire donc de la même façon : f(3k, 3l) =31.f(k, l) = 3p. Ce qui signifie qu’en multipliant la quantité de facteurs par 3, la quantité de produit obtenue est également multipliée par 3. Les rendements sont constants. Supposons enfin que la fonction de production p = f(k, l) est homogène de degré 0 1. Multiplions les quantités de facteurs par a 0 ; on aura, d’après la définition de la fonction de production homogène : f( ak, al) = af(k, l) = a.p. Ce qui signifie qu’en multipliant la quantité de facteurs par a, la quantité produite obtenue a été, elle, multipliée par la quantité a a (on sait en effet que 1, étant positif, on a a a, lorsque a est lui - même positif) ; c’est à dire que la quantité obtenue du produit est moins que proportionnelle à la quantité de facteurs utilisés : dans ce cas, on dira que les rendements sont décroissants. Exemple : Posons =1/2 et envisageons de même que le producteur décide de tripler la quantité de ses facteurs de production. On peut donc écrire : f(3k,3l) = 31/2f(k, l) = 31/2 .p. Comme 31/2 3, on voit que la quantité obtenue du produit est moins que proportionnelle à la quantité de facteurs utilisés. Les rendements sont décroissants. Remarque : Considérons une fonction de production homogène de degré = 0. On peut donc écrire que f(ak, al) = a0 f(k, l) = a0.p. Or, on sait que a 0 on a a0 = 1 On en déduit que lorsqu’une fonction de production est homogène de degré =0, on aura toujours f(ak, al) = f(k, l) = p. C’est un cas particulier parmi les fonctions de production à rendements décroissants (fonction de production homogène de degré : 1).  RESUME D   egré Rendements 1 Rendements croissants = 1 Rendements constants 1 Rendements décroissants 3. Les propriétés des fonctions de production homogènes Les propriétés mathématiques des fonctions homogènes (cf. par exemple Economie et Mathématiques, Ouvrage collectif Ed. PUF Paris 1965, Tome 1 p. 383) ont une signification économique intéressante à étudier s’agissant des fonctions de production. Propriété 1 : On démontre en mathématiques que les fonctions homogènes de degré admettent des dérivées partielles qui se présentent elles - mêmes sous la forme de fonctions de production homogènes de degré ( -1). Conséquence : Si une fonction de production p= f(k, l) est homogène de degré =1, les dérivées partielles sont des fonction homogènes de degré =1 - 1 = 0. Or on sait que les dérivées partielles d’une fonction de production représentent les productivités marginales des facteurs de production de cette fonction. Cela signifie que celles - ci restent inchangées lorsque varie l’échelle de la production.. On aura donc :  a 0 , f’k(k, l) = f’k(ak, al) et f’l(k, l) = f’l(ak, al) Propriété 2 : Les fonctions de production homogènes obéissent à l’identité d’Euler qui s’énonce comme suit : Lorsqu’une fonction de production p= f(k, l) est homogène de degré , l’égalité ci après est toujours vérifiée :  .f(k, l) = k .f(k, l) + l. f(k, l) p =k. Pmk +l. Pml où, comme on l’a vu, Pmk (respectivement Pml) représente la productivité du facteur K (du facteur L). Conséquence : Si p= f(k, l) est une fonction de production homogène de degré = 1 on aura (puisque p = p) :  P = k. Pmk + l. Pml Cette dernière égalité exprime la règle dite de « l’épuisement de la production ». Elle montre en effet que si le prix de chacun des facteurs de production K et L était égal à sa productivité marginale, la production (p) serait exactement égale à la rémunération (Rf) des quantités k et l des facteurs utilisés. En conséquence de quoi on déduit que : 1. La rémunération des facteurs de production serait supérieure à la quantité produite de P lorsque la fonction de production est homogène de degré 1. 2. A l’inverse la rémunération des facteurs de production serait inférieure à la quantité produite de P (ce qui laisserait un surplus de production à l’entreprise) lorsque la fonction de production est homogène de degré 1.  RESUME Conséquences de la propriété 2 des fonctions de production homogènes   Degré Rendements Rf/p  1 Croissants Rf P 1 Constants Rf = P 1 Décroissants Rf P III. La fonction de production de COBB-DOUGLAS La fonction Cobb-Douglas est une fonction de production homogène de type particulier qui porte le nom des deux économistes américains qui l’ont étudiée en s’employant à analyser les effets de l’augmentation des quantités des facteurs K et L dans une même proportion. La particularité de cette fonction de production tient d’abord à sa formulation caractéristique. Elle se présente en effet sous la forme :  P = f(l, k) = l k1- Où: P est le volume de la production l et k sont respectivement, les quantités utilisées du facteur « travail » L et du facteur « capital » K. et sont des constantes telles que : 0 1 et 0 Augmenter la quantité de facteurs dans une même proportion revient à multiplier l et k par le même nombre a 0. Il vient : (al). (ak)1- ce qui donne en isolant le facteur commun (a) :  a ( l k1- ) = a. p = a1. p La fonction COBB-D OUGLAS est une fonction homogène de degré =1 Comme la fonction Cobb-Douglas est une fonction homogène de degré 1, ses dérivées partielles sont, (en vertu de la propriété 1 des fonctions homogènes), elles - mêmes des fonctions homogènes de degré = 0. Calculons ces dérivées partielles. Après calculs, il vient : p/l = l-1.k1- et p/k = l (1-)k- Appliquons alors la propriété 2 c’est à dire : p = f(k, l) = l. (p/l) + k.(p/k). Comme on vient de montrer que la fonction Cobb - Douglas était homogène de degré = 1, on doit avoir : p = l.(p/l) + k.(p/k), soit (puisque p= l k1- ) : l k1- = l.(p/l) + k.(p/k) = l. l-1.k1- + k. l (1-)k-. En développant le deuxième membre de cette égalité, on obtient, après calculs :  l k1- = . ( l k1- ) + (1- ).( l k1- ) p= p + (1- )p Commentaire : Ce résultat montre que si on rémunère les facteurs de production selon leur productivité marginale respective (p/l pour le facteur travail et p/k) pour le capital), la production totale est répartie exactement entre les facteurs dans les proportions pour le travail et (1- ) pour le capital. On démontre par ailleurs assez facilement que et 1- représentent respectivement l’élasticité de (p) par rapport aux facteurs L et K. Chapitre III : L’objectif du producteur I. Position du problème Les développements précédents sont basés sur l’aspect technique du comportement du producteur où il était question de combinaison de facteurs et de quantités produites. Pour aller plus loin dans l’analyse, nous allons introduire maintenant des éléments d’ordre économique afin de mieux cerner l’objectif ultime du producteur rationnel. Comme tous les autres biens économiques, les facteurs de production ont un prix déterminé par le marché (de chacun de ces facteurs). Ils s’imposent donc en tant que tels lorsque l’entrepreneur choisit une certaine combinaison « technique » de production. De même, le prix du produit P que mettra en vente le producteur est déterminé par le marché de P: il s’impose là aussi comme une donnée dont tient compte le producteur dans sa stratégie de production. En d’autres termes, le producteur ne peut pas vendre son produit au prix qu’il veut. Il n’exerce par hypothèse, aucune influence ni sur le marché des facteurs de production qu’il utilise ni sur celui des produits qu’il met lui-même en vente. Ces hypothèses sont une conséquence du Marché de Concurrence Pure et Parfaite (MCPP) que nous analyserons plus loin, dans lequel évolue le producteur rationnel. Celui - ci cherche non pas tant à produire plus mais à mettre sur le marché une certaine quantité du produit P qu’il fabrique, de manière à maximiser son profit. Ainsi, un producteur rationnel (on dira aussi un entrepreneur rationnel) aura un double souci : 1. d’une part, il cherchera à vendre (à produire) une quantité du produit P telle qu’il puisse réaliser une recette R maximale. 2. d’autre part il cherchera à minimiser les dépenses occasionnées par l’achat des facteurs de production, c’est à dire à minimiser ses coûts totaux (Ct) de production.  L’objectif ultime de l’entrepreneur est donc de maximiser la différence = (R - Ct) Soit : Max. =(R - Ct) 1. Equation de coût total et ligne d’iso-coût Dans un souci de simplification de l’analyse, plaçons - nous dans le cas où l’entrepreneur utilise sur une capacité de production fixe (déjà installée), deux facteurs variables (L et K) respectivement le facteur travail et le facteur capital et ce pour fabriquer le produit (P). Soit pl et pk les prix unitaires des facteurs L et K, sur les marchés de L et K. Appelons l et k respectivement les quantités utilisées de ces facteurs variables pour la production d’une certaine quantité p du bien P. Dans ces conditions, les coûts d’utilisation des facteurs seraient : Cl = l. pl et Ck =, k. pk respectivement pour le facteur L et pour le facteur K. Si par ailleurs, on désigne par les coûts Cf liés aux facteurs fixes, on aura au total :  Ct = Cl + Ck + Cf (1) C’est, l’équation du coût total, dans laquelle la somme (Cl + Ck) représente le coût d’utilisation des facteurs variables que l’on note :  Cvt = Cl + Ck = l. pl + k. pk = Ct - Cf (2) L’équation (1) devient en définitive :  Ct = Cvt + Cf (3) Remarque : Le coût total n’est pas illimité dans la mesure où les ressources de l’entrepreneur ne sont elles - mêmes pas illimitées. Une fois installée sa capacité de production (dont le coût est Cf), les ressources disponibles (Rd) pour l’achat des quantités l et k respectivement des facteurs variables L et K sont au plus égales coût variable total puisque l’objectif du producteur est de minimiser ses coûts. On a alors :  Rd = Cvt = l. pl + k. pk (4) L’équation (4) appelée équation de coût (dans laquelle l et k sont les variables et pl et pk sont des paramètres) représente une droite appelée la ligne d’iso-coût. 2. La représentation graphique de la ligne d’iso-coût et ses caractéristiques Par un raisonnement analogue à celui qui nous a permis de représenter la droite budgétaire dans le cas du consommateur rationnel, on construit la droite représentant l’équation de coûts du producteur que l’on a appelée ligne d’iso - coût (voir Fig. 9). Construction et définition de la ligne d’iso - coût: a/ Supposons que le producteur utilise toutes ses ressources disponibles (Rd) à l’achat du seul facteur k ;l’équation (4) devient Rd = Cvt = k. .pk. Dans ce cas, la quantité maximale de K que le producteur peut acheter sera égale à k = Rd/pk. La quantité de L sera alors égale à 0 Le point A (0, Rd/pk) est situé sur la droite représentative de l’équation (4) ci dessus. b/Par un raisonnement identique on construit le point B (Rd/pl ,0) situé également sur la droite représentative de l’équation (4). Dans le cas du point B, le producteur dépense toutes ses ressources disponibles à l’achat du facteur L. En joignant les deux points A et B on construit la ligne d’iso - coût, expression de l’équation de coût (4) que l’on pourrait définir comme étant : le lieu géométrique de toutes les combinaisons de facteurs de production K et L que le producteur est susceptible d’acquérir compte tenu de ses ressources.   (k)  A p0 E0   k0 o (l) l0 B Fig.9 : Ligne d’iso - coût Comme la droite budgétaire dans le cas de l’analyse du comportement du consommateur, la ligne d’iso - coût est décroissante. Sa pente est donc négative. On démontre cela assez facilement en effet, à partir de l’expression (4) ci - après :  Rd = Cvt = l. pl + k. pk (4) De cette expression on peut mettre en évidence la valeur de la pente de la ligne d’iso - coût en opérant une transformation de l’écriture de (4) d’où l’on peut tirer :
 l = - k. (pk/ pl) + (Rd/ pl) (4’) représente l’équation d’une droite de la forme y = ax + b. Nous savons que dans ce cas la pente de y est égale à (a). Par analogie, on déduit que dans l’expression (4’), la pente est égale à- (pk/ pl). Comme la quantité (pk/ pl) est positive, puisqu’elle représente le rapport des prix des facteurs de production, la quantité - (pk/ pl) est nécessairement négative. Ce qui implique que la ligne d’iso - coût est décroissante |
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