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II. La formalisation de l’objectif du producteur 
1. L’équilibre du producteur 

Les développements consacrés à l’équation de coût laissent entrevoir que le producteur rationnel vise à déterminer la combinaison optimale des facteurs de production qui lui permettra de fabriquer une quantité (p) de P telle que son profit soit maximum.
Graphiquement, cet objectif se traduit par la nécessité de faire coïncider l’iso - quant de niveau le plus élevé avec la ligne d’iso-coût correspondant à un coût total donné. Sur la fig. 9, cette situation est représentée par le point E0 (l0, k0). Plus les ressources nécessaires à la couverture des coûts totaux (coûts fixes + coûts variables) sont importantes plus l’iso - quant correspondant à ces ressources est éloigné de l’origine (Fig. 10).



Commentaire

La fig.10 représente différentes situations d’équilibre E1, E2 et E3, correspondant à des niveaux de production P1, P2 et P3 eux - mêmes différents parce que correspondants à des coûts totaux différents. Ainsi on a d’après ce graphique

p3  p2 p1





k


p3



p1 p2 S

E2 E3
E1

O l

Fig. 10 : Situations d’équilibre


L’équilibre du producteur se présente sous la forme d’un problème lié qui peut être formalisé mathématiquement par :



Max. p = f(l, k)

S/C Rd = Ct - Cf = l. pl + k. pk


Les quantités de facteurs k0 et l0 qui satisfont à la contrainte ci dessus forment la solution au problème de l’équilibre du producteur. Elles constituent en effet la combinaison de facteurs de production qui permet au producteur de réaliser le volume de production maximal compte tenu de la nécessité pour lui de minimiser ses coûts.
2. Les conditions d’équilibre du producteur 
Tel que nous venons de l’identifier, le problème du producteur consiste à rechercher le niveau de production maximal sans dépasser le niveau des coûts exprimé par l’équation (4) ci - dessus. Graphiquement, comme le montre la fig.9, la solution à ce problème se situe au point de tangence (E0) entre la ligne d’iso - coût et la courbe d’iso - produit de niveau le plus élevé (p0).
Au niveau de ce point, les pentes de la ligne d’iso - coût et celle de la courbe d’iso - produit sont par définition égales. Comme la pente de la courbe d’iso - produit est donnée par le rapport dl/dk (représentant la dérivée de la fonction l = f(k)) tandis que la pente de la ligne d’iso - coût est, nous l’avons montré plus haut (a =- pk/pl), on peut donc écrire qu’à l’équilibre on a toujours :




dl/dk = - pk/pl  - dl/dk = pk/pl  TMST l à k = pk/pl

TMST l à k = Pml/Pmk = Pk/Pl

Cette condition s’énonce ainsi 




A l’équilibre, le rapport des prix des facteurs de production est égal au rapport de leurs productivités marginales qui est lui - même égal au taux marginal de substitution technique entre les facteurs.

III. Le sentier d’expansion de l’entreprise 
1. Définition et représentation graphique du sentier d’expansion de l’entreprise 
Reprenons la fig.10. Joignons les points O, E1, E2, E3 . On obtient une courbe (OS) dont l’origine est le point O (0, 0) correspondant à un niveau de production nul. Cette courbe exprime la manière dont varie l’équilibre du producteur lorsque varient les quantités de facteurs de production. Pour cette raison, elle est appelée sentier d’expansion de l’entreprise. Le sentier d’expansion appelé aussi courbe d’échelle traduit l’activité de l’entreprise à mesure que se modifie l’échelle (ou taille) de l’entreprise.
Le sentier d’expansion d’une entreprise aura la forme d’une droite dans le cas d’une fonction de production homogène et ce en vertu de la propriété P1 des fonctions homogènes (cf. supra). On se rappelle en effet que celle - ci signifie que les productivités marginales des facteurs de production restaient inchangées lorsque les quantités de facteurs variaient dans les mêmes proportions. Par suite les lignes d’iso - coût(l1k1 ; l2k2 ; l3k3) successives étaient parallèles entre elles de sorte que les points d’équilibre successifs E1, E2 et E3 soient alignés.


(k)
k3 S
k2

E3

k3

E2

E1
O

l1 l2 l3 (l)
Fig.11 : Sentier d’expansion

et fonction de production homogènes
2. Propriétés et conséquence de la définition du sentier d’expansion 
a. Rappels 
a1 - Le sentier d’expansion est la représentation graphique de tous les points d’équilibre E1, E2, E3 ... correspondant à chaque fois au niveau de production maximum et au coût de production minimum.

a2. Dans le cas d’une fonction de production homogène, le sentier d’expansion est le lieu géométrique de tous les points d’équilibre où les TMSl à k entre les facteurs de production L et K et les rapports des productivités marginales correspondant sont invariables (égaux).
b. Conséquence 
Les définitions et le résultat ci dessus rappelés impliquent comme conséquence, le fait que dans le cas d’une fonction de production homogène, la courbe représentative du sentier d’expansion est une droite (Cf. fig.11).
IV. La maximisation du profit, objectif ultime du producteur 
1. Notion de profit 
En achetant sur des quantités k et l sur le marché des facteurs de production K et L respectivement au prix (pk) et (pl), le producteur supporte des coûts d’utilisation des facteurs liés à la quantité fabriquée (p) du produit P qu’il va vendre (sur le marché de P) au prix unitaire donné (pu). Ce faisant le producteur cherchera à vendre un volume de produit tel qu’il puisse réaliser une recette maximale, compte tenu de ses coûts totaux.
Autrement dit lorsque le producteur met sur le marché une quantité (p) de produit, il réalise un profit () égal à la différence entre la recette totale (Rt) et le coût total (Ct). Son objectif est donc moins de réaliser un volume de plus en plus important de P, mais de produire une quantité (p) de P telle que son profit () soit maximum. Or par définition on a : () =(Rt) - (Ct). On peut donc énoncer qu’en définitive le producteur a pour objectif ultime, la maximisation de son profit




() = (Rt) - (Ct) (1)
Comme Rt est égal au produit de la quantité vendue (p) par le prix unitaire pu on peut écrire que : Rt = pu. p.

De même on sait que Ct = l. pl + k. pk + Cf (où Cf représente le coût fixe), il vient puisque p = f(l, k) :



() =(Rt) - (Ct) = pu. f(l, k) - (l. pl + k. pk + Cf ) (2)

2. Les conditions de maximisation du profit
Le producteur cherche à maximiser () tel qu’exprimé par l’équation (2). Celle ci comme on le voit, montre que le profit, comme le volume de production est une fonction des quantités k et l des facteurs utilisés ; en effet les prix Pl et Pk ainsi que le coût fixes sont des constantes.
Pour que la fonction exprimée par la relation (2) ci-dessus, il faut que les conditions du premier ordre et du second ordre soient vérifiées.
a. Conditions du premier ordre 
On sait que la condition de premier ordre pour qu’une fonction à plusieurs variables admettent un extremum, il faut et il suffit que ses dérivées partielles du premier ordre soient simultanément nulles. Aussi bien dans le cas de l’équation (2) ci dessus il faut que :




d/dl = 0  pu . df/dl - pl = 0  pu. df/dl = pl  pmgl = pl

(3)

d/dk = 0  pu . df/dk - pk = 0  pu . df/dk = pk  pmgk = pk

 

Ce résultat exprime donc le fait que le producteur atteint son optimum lorsque les productivités marginales des facteurs de production sont égales en valeur aux prix unitaires de ces mêmes facteurs.
b. Condition du second ordre : (loi des productivités marginales décroissantes)
Les conditions du second ordre permettent de savoir si l’extremum de la fonction (trouvé grâce à l’étude des conditions du premier ordre) est un maximum ou au contraire, un minimum.

On sait en effet que cet extremum sera un maximum si les dérivées d’ordre 2 sont négatives.
Pour exprimer cette condition, on écrit :

a. Par rapport à (l):




2/l2 = pu.(2p/l2)  0 (4)

b. Par rapport à (k):




2/k2 = pu.(2p/k2)  0 (5)


Comme le prix (pu) est positif, les quantités (4) et (5) (qui donnent les dérivées partielles de () par rapport au facteur L et par rapport au facteur K ) ne seront négatives que si les quantités (2p/l2) et (2p/k2) sont elles - mêmes négatives. Or (2p/l2) et (2p/k2) expriment respectivement les pentes des courbes de productivités marginales de ces mêmes facteurs. Cela montre bien que celles - ci sont décroissantes. On peut donc conclure que le profit maximum ne peut être obtenu qu’en phase de rendements décroissants.
V. Les fonctions de Coût 
L’analyse du comportement du producteur par la fonction de production telle que nous l’avons exposée dans les développements précédents est basée sur la relation entre les quantités de facteurs de production utilisés et la quantité du produit fabriqué : c’est l’approche technique du comportement du producteur.

Cet aspect de l’analyse du comportement du producteur est complété par l’approche économique basée sur les coûts liés à l’utilisation des facteurs de production dont les prix unitaires sont fixés par le marché. Ils s’imposent donc en tant que contraintes au producteur.

En régime de concurrence, le prix du produit vendu par celui - ci est également fixé par le marché. C’est donc une donnée dont dépend sa recette. L’approche économique du comportement du producteur est une basée sur les fonctions de coûts que nous étudions successivement courte et en longue période.

Rappelons qu’en courte période il existe des coûts fixes attachés aux facteurs fixes (dont les montants demeurent constants quelle que soit la quantité de produit fabriquée) et des coûts variables attachés aux facteurs variables (dont les montants évoluent avec la quantité produite). Par contre, nous savons qu’en longue période, tous les facteurs de production sont des facteurs variables puisque par hypothèse la capacité de production installée elle - même, peut varier.

1. Les fonctions de coûts en courte période 

Nous avons défini le sentier d’expansion (voir supra) du producteur (on dit plus exactement le sentier d’expansion de l’entreprise) comme étant la représentation graphique de tous les points d’équilibre c’est à dire de tous les points correspondants à des niveaux de production maximums obtenus à des niveaux de coûts minimums.


Le producteur rationnel, lorsqu’il modifie ses combinaisons de facteurs (k, l) sera amené à en choisir d’autres situées nécessairement sur le sentier d’expansion (OS) . Sur la Fig. 12 ci - contre, les points P1, P2 et P3 correspondent ainsi à des combinaisons de facteurs de production qui permettent à l’entreprise d’obtenir le volume de production maximum pour un coût minimum.

Ainsi, pour obtenir le niveau P1de production le coût total de production est Ct = k1 pk +l1pl+ Cf. De même, pour produire P2, le coût total de production sera Ct = k2 pk +l2pl+ Cf. Il en va de même pour la production de P3 dont le coût total minimum sera Ct = k3 pk +l3pl+ Cf. Ce raisonnement est identique pour tous les points situés sur le sentier d’expansion de l’entreprise. Cela signifie que lorsque les quantités de facteurs varient, les coûts totaux varient également. Or on sait que p = (k, l), on voit ainsi que le coût total est lui même une fonction de ( p). On peut donc exprimer la fonction du coût total par la relation :

Ct = (p) + Cf



(k)





k3 P3 S

k2

P2




k1 P1

O

l1 l2 l3 (l)

Fig.12 Sentier d’expansion
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