Le cours de








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a. Les différentes catégories de coûts
a1. L’expression du coût total 

Nous avons que le coût total (Ct) est une fonction du volume (p) de la production dont l’expression est :




Ct =  (p) + Cf (1)
Où (Cf) représente le coût de la capacité de production installée c’est à dire du facteur fixe. De l’équation (1) on tire :




Cf = Ct -  (p) (2)
Comme par ailleurs on a : p= f (k, l), la quantité  (p) représente les coûts liés aux facteurs variables. Elle est égale à (Ct - Cf). On énonce alors que le coût variable total production noté (Cvt), est égal au coût total de production (Ct) diminué du montant des coûts fixes (Cf). La quantité  (p) représente le coût d’utilisation des facteurs variables. Elle est donnée par la relation :




(Cvt) = (Ct - Cf) =  (p) (3)

a2. Coûts moyens et coût marginal 
L’expression (1) ci - dessus, donne le montant de la dépense totale minimale que le producteur accepte de payer pour obtenir le niveau de production (p) situé sur le sentier d’expansion de son entreprise. Par ailleurs il est toujours intéressé à connaître, lorsqu’il fabrique une certaine quantité (p) du produit P, à combien lui revient la fabrication d’une unité de ce même produit P. En fait, il s’intéresse au coût total moyen de production. De même, il apparaît utile pour le producteur de savoir comment varie le coût total de sa production lorsque la production varie d’une unité. Cette question renvoie à la définition du coût marginal, c’est à dire du coût de la dernière unité produite.
a21. Les coûts moyens

A partir des relations (1), (2) et (3) ci - dessus on détermine les expressions du coût total moyen, du coût fixe moyen et du coût variable moyen en divisant respectivement les quantités, (Ct), (Cf) et (Cvt) par le volume de production (p). On obtient ainsi :
Le coût total moyen CM 




Ct M = (Ct)/ p =  (p) + Cf/p =  (p)/p +(Cf)/p (4)

Le coût fixe moyen CFM 




Cf M = (Cf)/p =  Ct -  (p) /p = Ct/p -  (p)/p (5)

Le coût variable moyen CVM 




Cvt M =  (Ct - Cf)/p =  (p)/p = Ct M - Cf M (6)

a22. Le coût marginal Cm 
Définit comme la variation de coût total lorsque varie la production d’une unité, le coût marginal noté (Cmg) est la limite du rapport (Ct/ p) quand (p) tend vers zéro. Le coût marginal exprime ainsi la dérivée de (Ct) par rapport à (p). Il est donné par la relation :
Cmg = dCt/dp =’(p) + (dCf/dp). Comme Cf est une constante, on a donc (dCf/dp) = 0. Il vient alors :



Cmg = ’(p) (7)
Représentation graphique des différentes catégories de coûts 
A partir d’un exemple numérique simple exprimé par le tableau ci - après, on peut tracer les courbes représentatives des différentes catégories de coûts.


Nbre d’unités de (p)

Coût fixe

(Cf)


Coût variable (Cvt)

Coût total

(Ct)

Coût fixe moyen

(Cf/p)

Coût variable moyen (Cvt/p)

Coût total moyen

(Ct/p)

Coût marginal

Cmg = (dCt/dp)

1

190

100

290

190

100

290

-

2

190

130

320

95

65

160

30

3

190

150

340

63.3

50

113.3

20

4

190

200

390

47.5

50

97.5

50

5

190

260

450

38

52

90

60

6

190

360

550

31.6

60

91.6

100


Les coûts totaux 



(Coûts) Fig. 13 : Courbes des coûts totaux


Ct

Cvt
190 Cf

(p)

0 1 2 3 4 5 6



















Commentaire de la Fig. 13
1. La courbe représentative des coûts fixes (Cf) est parallèle à l’axe des abscisses. Cette forme particulière de la courbe (Cf) s’explique par la définition même des coûts fixes. Ceux - ci restent en effet constants, quel que soit le volume (p) de la production.
2. La distance qui sépare les courbes (Cvt) et (Ct) est égale à la distance qui sépare l’axe des abscisses de la courbe (Cf) correspondant au montant des coûts fixes. On sait en effet et par définition  que : Cvt = Ct - Cf et Ct = Cvt + Cf
3. Les deux courbes représentatives des coûts totaux (Ct) et (Cvt) présentent chacune un point d’inflexion conformément à la loi des rendements décroissants. En effet, celle - ci se traduit par l’allure de ces courbes traduisant ainsi le fait que dans un premier temps, les coûts de production augmentent à un taux plus que proportionnel à l’augmentation de la quantité de facteurs de production utilisée ; puis, à partir de ce point d’inflexion l’augmentation des coûts de production s’effectue à un rythme moins que proportionnel. Cela est encore plus visible lorsque l’on observe l’allure des courbes des coûts moyens et celles du coût marginal .
Commentaires  

1. La Fig. 14 représente les courbes des coûts moyens (Ct M, CvtM, et Cf M) et celle du coût marginal (Cmg). On y remarque d’emblée la forme de la courbe du coût fixe moyen (Cf M) qui décroît (jusqu'à devenir asymptote à l’axe des abscisses) à mesure que la quantité produite augmente. Elle exprime le fait que plus la quantité produite augmente plus le coût d’utilisation des facteurs fixes (de la capacité de production installée) diminue.
2. Par contre, les courbes de coûts moyens (total et variable) ainsi que celle du coût marginal commencent par décroître, passent par un minimum, puis s’accroissent. Cette allure des trois courbes (Ct M, CvtM et Cmg ) confirme l’effet de la loi des rendements décroissants : lorsque les rendements sont croissants, les coûts moyens et marginal sont décroissants et à l’inverse, lorsque les rendements sont décroissants, les coûts sont croissants

3. On remarque également, sur la Fig.14, que la courbe (Cmg) coupe les courbes (Ct M) et (Cvt M) en leur minimum respectifs. Ce que l’on démontre facilement, sachant qu’une fonction admet un minimum au point où sa dérivée du premier ordre est nulle. Dans le cas des courbes (Ct M) et(Cvt M) on doit avoir respectivement :
d((Ct M)/dp = 0 (1)

et

d(Cvt M)/dp = 0 (2)
Comme on sait que Ct M = Ct/p et Cvt M = Cvt/p, il vient :
A partir de (1) : d (Ct/p)/dp = 0  (p .Ct’- Ct)/p2 = 0.
Or, on sait que pour qu’un rapport soit nul, il faut que son numérateur soit nul. Ce qui veut dire que l’égalité (1) peut être ramenée à :
p . Ct’ - Ct = 0  p . Ct’ = Ct  Ct’ = Ct/p. Or Ct ’ = Cmg, on a donc bien : Cm = Ct/p. Ce qui signifie que lorsque le coût moyen est minimum, il est égal au coût marginal
A partir de (2) : d(Cvt M)/dp = 0  d(Cvt/p)/dp = 0  (p . C’vt - Cvt)/p2 = 0. De cette dernière égalité on tire : p .Cvt’ - Cvt = 0  p . Cvt’ = Cvt  Cvt’ = Cvt/p. Or Cvt/p = Cvt M et on sait que Cvt’ = Ct’ = Cmg puisque Cvt = Ct - Cf et qu’ainsi, on a dCvt/dp = dCt/dp = Cmg . En définitive, on a : Cm=Cvt/p = Cvt M. Ce qui démontre là aussi que lorsque le coût variable moyen est minimum, il est égal au coût marginal.

b. La maximisation du profit en courte période
b1. Rappels 
Nous savons que l’entrepreneur n’exerce aucune influence ni sur les prix (pl) et (pk) des facteurs de production qu’il utilise ni sur le prix (pu) du produit P qu’il fabrique. Ces prix sont en effet, (hypothèse essentielle), des données du marché qui s’imposent à lui en tant que telles. Il en tient compte pour produire (organiser son offre sur le marché).
On sait par ailleurs que plus la quantité (p) qu’il vend est importante, plus sa recette Rt augmente. Donc sa recette, au même titre que ses coûts est une fonction de (p). Le profit () qui est la différence entre la recette et les coûts de production est donc lui - même également une fonction de la quantité (p). On a en effet :

 = Rt - Ct  ou encore :  = pu. p -  (p) + Cf d’ou :




 = pu. p -  (p) - Cf (1)

On sait qu’une fonction admet un extremum au point où sa dérivée première est nulle: c’est la condition de premier ordre.
D’autre part, pour que cet extremum soit un maximum, il faut que sa dérivée seconde soit négative : c’est la condition de second ordre.
b2. Conditions de maximisation du profit 

Reprenons l’équation (1). Elle est de la forme  = f(p). Pour que cette fonction admette un maximum, il faut que les deux conditions précédentes soient vérifiées.

b21. Condition de premier ordre 

La fonction  = f(p) admet un maximum lorsque : d/dp = f’(p) = 0 c’est à dire :




d/dp = pu - ’(p) = 0  pu = ’(p) (2)
Or la quantité ’(p) représente le coût marginal de la production (le coût de la dernière unité produite). On peut donc conclure, d’après l’équation (2) que :




Le profit est maximum pour un volume de production (p) tel que le coût marginal soit égal au prix unitaire (pu)
b22. Condition de deuxième ordre 

La deuxième condition pour que le profit soit maximum est que la dérivée seconde de  = f(p) soit négative. Or on a :



d2/dp2 = f’’(p) = - ’’(p) 0 (3)
Cette dernière équation montre que si la quantité -’’(p) est négative, cela implique nécessairement que ’’(p) est positive. Or ’’(p) représente la pente de la courbe du coût marginal. En effet on a ’’(p) = ’(p)’= d2Ct/dp2. Comme ’’(p) = d2Ct/dp2 0, on en déduit (Fig. 15) que:




Le volume (P) de production qui maximise le profit est réalisé en phase ascendante de la courbe de coût marginal.

La quantité produite qui procure un maximum de profit au producteur est vendue au prix unitaire pu. Elle correspond à la distance Op sur le graphique. La recette totale Rt est représentée par la surface Op x pF. En effet la distance pF correspond à pu = Cmg.



(Coûts)

(Cmg)

Pu F
(Ct M = Ct/p)

A B


O ( p)

p

Fig. 15 : Egalisation du coût marginal au prix pu du marché

2. Les fonctions de coût de longue période 

Rappelons qu’en courte période, il était question de coûts fixes liés à la capacité de production installée et de coûts variables liés à l’utilisation des facteurs variables. En courte

période, le producteur cherchait à utiliser au mieux cette capacité de production installée (équipements, outillage...) dont le coût (Cf) demeurait constant quel que soit le volume de

production. Celui - ci, une fois le coût fixe acquitté, dépendait des quantités (l) et (k) de facteurs variables dont les prix respectifs pl et pk sont donnés par le marché.
En longue période le producteur, lorsqu’il prévoit un développement futur de ses ventes, peut décider de changer en les augmentant ses capacités de production. Ce faisant, il va investir. L’investissement fait suite à une étude de marché qu’on escompte favorable. Il implique un changement de la capacité de production déjà installée et induit une modification des coûts précédemment fixes : En longue période, même les coûts de production qui étaient fixes vont devenir des coûts variables du fait de l’augmentation des dépenses induite par l’investissement entrepris par le producteur.



La longue période se distingue de la courte période par le fait que tous les coûts sont des coûts variables. C’est en effet une période suffisamment longue pour que la capacité de production puisse également changer entraînant une variation de (Cf).
En longue période les coûts fixes deviennent donc une fonction croissante de la capacité installée. En effet, plus celle - ci sera importante, plus les coûts (Cf) qui lui sont attachés iront en augmentant. On peut donc traduire cela par la relation ci - après :




Cf =  (I) (1)
Où (I) désigne la capacité de production installée.
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