Thèse soutenue publiquement par Sang-Ha S. le 10 Juillet 2006 Le jury de soutenance était présidé par Gilles bernard, Professeur à l’Université Paris 8 version word intégrale, surlignée et coloriée l’ «auteur»








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Géométrie et dimensions

La géométrie non-euclidienne et la géométrie dimensionnelle exigent une redéfinition des conceptions communes qui ont cours sur les principes géométriques.

Ce chapitre explique que l’addition d’une quatrième dimension, qui provoque de nouvelles définitions, ouvre sur un espace multidimensionnel, ici l’Hypercube.

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GÉOMETRIE ET DIMENSION
La géométrie non-euclidienne

Le cinquième postulat d’Euclide
Pour passer de la dimension zéro aux dimensions supérieures, les mathématiciens créent des « suites » de figures analogues. Il existe différents moyens d’élaborer ces suites, qui commencent parfois très bas dans l’échelle des dimensions.
Considérons un point, qui est de dimension zéro ; et ne possède aucun degré de liberté.

Par un point il ne passe qu’une seule droite parallèle à une droite donnée : ce n’est pas une loi de la raison, ni un fait géométrique, c’est une définition déguisée de la droite ou du plan euclidien.

La géométrie non-euclidienne a été considérée comme une géométrie qui s’oppose à un des postulats d’Euclide.

Vers 300 avant J-C, Euclide souhaitait créer un système mathématique cohérent fondé sur la géométrie de l’espace. Les propriétés de l’espace dérivées de sa géométrie sont donc les propriétés de l’espace telles que les Grecs les comprenaient.

Mais le cinquième postulat de son système ne parait pas aussi évident que les autres. Il est une invention d’Euclide lui-même et n’appartient pas à la grande masse e connaissances que celui-ci compilait. Il n’était pas assez simple pour être un postulat pouvant se démontrer comme un théorème.

Au fil des siècles, les mathématiciens du monde occidental se prirent d’une aversion universelle pour le cinquième postulat d’Euclide, et, jusqu’à la fin du 18éme siècle, ils tentèrent de démontrer que le cinquième postulat était
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un théorème portant sur la découverte de types d’espaces nouveaux, mais tous niaient que ce postulat correspondait à une propriété réelle et nécessaire de l’espace.
En 1824, Karl Friedrich Gauss avait conclu ses géométries de l’alternative à la possibilité de ce postulat d’Euclide par une question naturelle : notre espace est-il celui d’Euclide ou l’un de ces nouveaux espaces ? Mais Gauss n’a jamais publié ses pensées sur la géométrie non-euclidienne. ( le philosophe dont Gauss craignait le plus les disciples était Emmanuel Kant, qui était d’avis que l’on pouvait se dispenser du simulacre de la rigueur et embrasser l’intuition.)
Cette même année, un russe, Nikolai Ivanovich Lobachevski, et un hongrois, Janos Bolyai, ont l’un et l’autre formulé et officiellement publié le premier système de la géométrie non-Euclidienne.

Lobachevski et Bolyai ont choisi la même alternative au cinquième postulat : étant donné une droite et un point situé hors de cette droite, il existe une autre droite (dans le même plan) qui passe par ce point et qui est parallèle à cette droite donnée. Un nombre infini de droites peut être tiré à travers un point, et, bien que ces droites puissent approcher une droite donnée, comme elles sont étendues à l’infini, elles ne la croiseront jamais. De la même façon, la somme des angles d’un triangle sera moindre que le familier 180° de la géométrie Euclidienne.
En 1827, Gauss a publié un article sur la base de la géométrie différentielle. Dans son article, il a fait deux constats cruciaux. Il a affirmé tout d’abord, qu’une surface pouvait être considérée comme un espace en soi. On pourrait ainsi considérer la surface de la terre comme un espace.
[PLAGIÉ, Léonard MLODINOW. (L’ŒIL DU COMPAS) ] VOIR SUITE…

L’autre principe révolutionnaire établi par Gauss, c’était la possibilité d’étudier la courbure d’un espace uniquement à sa surface, sans référence à un espace plus vaste pouvant – ou non – le contenir. Plus …
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techniquement, on peut étudier la géométrie d’une surface courbe sans référence à un espace Euclidien de dimension supérieure.

Finalement, celui qui a mis au point en 1868, le problème de la démonstration du cinquième postulat c’est le mathématicien italien Eugenio Beltrami en parlant de « pseudosphére », ce qui est une façon simple de visualiser le nouveau type d’espace : sur une telle surface de courbure négative constante, on peut imaginer comment un groupe de droites peut être parallèle à un autre sans jamais le croiser, et comment la somme des angles d’un triangle est toujours inférieure à 180°. Ensuite, Henri Poincaré, mathématicien, physicien et philosophe français, a imaginé une forme plus simple de la visualisation de cet espace.
Géométrie des Poincaré et Riemann
Pendant les années 1860, en France, quand Houel a traduit un traité important, qui a été écrit en Français par quelques mathématiciens et concernait la pseudosphére, le nom de Gauss a donné un nouvel élan à la géométrie non-euclidienne et intéressé une jeune génération de mathématiciens, qui, comme Henri Poincaré, l’ont développé.

Pour créer son modèle, Poincaré avait remplacé la droite et le plan par des entités concrètes, puis interprété les axiomes de la géométrie hyperbolique en se basant sur ces entités. Il est tout à fait acceptable de traduire les termes de ces composants de l’espace par des courbes ou des surfaces, et de faire en sorte que le sens que leur donnent les postulats s’appliquant à eux, soit bien défini et cohérent.

L’explication de Poincaré consistait à en interpréter le sens, en …
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définissant un système de mesure des longueurs et des angles.

Pour Poincaré, l’angle entre deux droites était formé par leurs tangentes à leur point d’intersection. Et pour définir la longueur ou la distance, il faisait entrer un plan infini dans une région finie.

Pour être acceptable, sa définition devait répondre à de nombreuses exigences. Par exemple, la distance entre deux points distincts devait toujours être supérieure à zéro. De même, la forme mathématique précise choisie par Poincaré devait faire de la droite joignant deux points quelconque le chemin le plus court entre ces deux points, de même que, dans l’espace euclidien, la droite représente le chemin le plus court entre deux points.

Quand on examine tous les concepts géométriques fondamentaux nécessaires à la définition de l’espace hyperbolique, on s’aperçoit que le modèle de Poincaré permet une interprétation cohérente de chacun d’entre eux ; le modèle de Poincaré n’est donc pas simplement un modèle d’espace hyperbolique, il est l’espace hyperbolique à deux dimensions. En langage mathématique, cela implique que toutes les descriptions mathématiques possibles du plan hyperbolique sont isomorphes.

Une trentaine d’année après la démonstration de l’espace hyperbolique, on a découvert un nouveau type d’espace non-euclidien, l’espace elliptique, obtenue lorsque l’on admet une autre violation du cinquième postulat : le fait qu’il n’existe aucune parallèle, et que toutes les droites du plan se croisent. Ce type d’espace en deux dimensions était connu et avait été étudié dans un autre contexte par les Grecs et même par Gauss, mais personne n’avait réalisé son importance en tant qu’exemple d’espace elliptique. Et pour cause : il avait été prouvé qu’un tel espace ne pouvait exister dans le système euclidien, même en admettant des formes alternatives du cinquième postulat. Cependant, il apparut pour finir que ce n’étaient pas les espaces elliptiques qui posaient problème, mais la structure axiomatique d’Euclide.
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La géométrie des espaces elliptiques – appelées géométrie sphérique – était déjà bien connue. On savait que les grands cercles étaient les géodésiques. Les formules géométriques, reliant les éléments différents des triangles sphériques, ont été découvertes et appliquées à la cartographie. Mais les espaces elliptiques ne cadraient pas avec le modèle d’Euclide. C’est Georg Friedrich Bernhard Riemann, l’un des étudiants de Gauss, qui a découvert que le globe était un espace elliptique.

C’est en 1868, que fut publiée la leçon inaugurale donnée par Riemann en 1854. Son exposé a été fait selon le cadre de la géométrie différentielle en se focalisant sur les propriétés des parties infiniment petites d’une surface plutôt que sur les caractéristiques géométriques générales de cette surface. En fait il n’a jamais mentionné explicitement la géométrie non-euclidienne.

Riemann a souligné, pour la première fois, la distinction importante à opérer entre l’espace sans limite et l’espace infini. La surface d’un espace elliptique serait sans limite mais toujours fini. En fait, la sphère est le meilleur modèle pour la géométrie non-euclidienne impliquée par Riemann. L’espace étant fini, une droite de peut pas être étendue indéfiniment (comme dans le cinquième postulat d’Euclide). Il est possible d’établir qu’aucune droite ne peut être dessinée parallèlement à une droite donnée. Selon ce principe, les droites sont définies comme de grands cercles qui, dans la géométrie des espaces elliptiques, croisent les perches de la sphère.

Selon la géométrie elliptique, la somme des angles d’un triangle sera plus grande que 180°. La géométrie de Riemann portant sur des surfaces de courbure positive constante est donc le contraire de la géométrie Lobachevsky-Bolyai envisageant des surfaces de courbure négative constante.
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L’approche métrique de Riemann de la géométrie et son intérêt pour le problème de congruence a aussi engendré un autre type de géométrie non-euclidienne. L’une et l’autre ne sont pas définies par son refus du cinquième postulat d’Euclide mais plutôt par la courbure irrégulière que prend en compte cette approche. La vue générale qu’avait Riemann de la géométrie suggérait la possibilité de surfaces ou espaces de courbure variable. Sur cette surface irrégulière, une figure ne pourrait pas être déplacée sans que des changements se produisent dans sa propre forme et propriété. Bien qu’Euclide n’ait pas envisagé de postulat portant sur l’indéformabilité des figures en mouvement, une telle proposition, appartient essentiellement à son système. Quand le principe d’indéformabilité est nié, il en résulte une géométrie comportant des figures qui peuvent se tortiller en se déplaçant.

Poincaré a écrit des nombreux articles pendant les années 1890 et trois livres entre 1900 et 1910 dans lesquels il a repris ce qu’il pensait des axiomes géométriques.

En 1891, il avait déjà parlé de l’impossibilité de prouver la vérité ou la fausseté de l’hypothèse suivant laquelle notre espace était euclidien. Si un triangle astronomique avait été mesuré comme représentant une déviation de 180°, la géométrie euclidienne pourrait être faite de courbes au lieu de lignes droites.
[PLAGIÉ, Henri POINCARÉ. La valeur de la science]

Dans l’espace normal, des triangles rectilignes dont la somme des angles est égale à deux angles droits, mais également des triangles curvilignes dont la somme des angles est plus petite. L’existence des uns ne doit pas plus être mis en doute que celle des autres.
Poincaré a insisté sur les problèmes soulevés par la géométrie non-euclidienne, en laissant presque complètement de coté d’autres question, il envisageait un fond commun, ce continuum à trois dimensions qui était le même pour toutes et qui ne se différenciait que par les figures qu’on y traçait, ou quand on prétendait le mesurer.
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Dans ce continuum, primitivement amorphe, on peut imaginer un réseau de lignes et de surfaces, ont peut convenir ensuite de regarder les mailles de ce réseau comme égales entre elles, et c’est seulement après que ce continuum, devenu mesurable, devient espace euclidien euclidien

De ce continuum amorphe peut donc sortir indifféremment l’un ou l’autre des deux espaces, de même que sur une feuille de papier blanc on peut tracer indifféremment une droite ou un cercle.
Lorsque Poincaré soutient, dans un texte sur « les géométries non euclidiennes » paru en 1891, la thèse paradoxale du caractère conventionnel des principes fondamentaux de la géométrie, il peut s’autoriser de l’évolution récente des mathématiques. La constitution des géométries « elliptique » et « hyperbolique » avait bien de quoi déconcerter le profane, mais c’est avant tout l’interprétation philosophique de l’activité géométrique elle-même, et plus encore les conséquences radicales du « conventionnalisme géométrique », qui semblaient particulièrement scandaleuses, qui était proposées. Poincaré n’épargnait personne. En renvoyant dos-à-dos tous les protagonistes, rationalistes et empiristes, il faisait le vide autour de lui.

Pourtant, en affirmant le caractère conventionnel des principes, il ne s’agissait que de les soustraire au régime de l’évidence géométrique (celui dont Aristote présentait le canon dans les Seconds Analytiques, et dont témoignent encore certains textes de Descartes, Pascal et Kant), la position de Poincaré pourrait se formuler d’entrée de jeu par une série de réfutations.
Le système de la géométrie non euclidienne

Le système de la géométrie non-euclidienne offre une réponse fulgurante à toutes les questions qui peuvent venir à l‘appui du conventionnalisme géométrique. Dans cet univers, notre point de vue euclidien, sur une sphère,
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son rayon et les distances, est soumis à une loi d’expansion et de contraction uniforme.
Cette réponse explique l’existence des géométries non-euclidiennes ; Si les instruments de mesure se déformaient en se déplaçant en même temps que les corps qu’ils mesurent, rien au sein de cet environnement ne permettrait de détecter ces changements. Une déformation, en effet, n’est repérable que relativement à ce qui ne se déforme pas. Les déplacements n’affectent pas les dimensions des corps rigides .Les notions de centre et de rayon qui permettent à Poincaré de nous offrir un point de vue supérieur sur le monde hypothétique, n’auraient donc aucun sens pour ses habitants : comme dans l’espace euclidien qui nous est familier, tous les points seraient pour eux équivalents, de même que toutes les lignes ou directions imaginables. Leur espace, que nous concevons comme fini, hétérogène et anisotrope leur apparaîtrait au contraire infini, homogène et isotrope. De tels êtres seraient naturellement conduits à construire une géométrie que nous comprendrions. Aucun fait physique concevable ne serait en mesure de suggérer l’état « réel » des choses. Tous nos concepts géométriques, tous nos théorèmes auraient leur équivalent chez eux et seraient vérifiés par chaque expérience.

En retour, nos problèmes de pure géométrie pourraient être résolus utilement dans leur propre système, parce que les deux géométries ne différeraient au fond que par le contenu intuitif ou l’interprétation physique attachée aux concepts fondamentaux.
Au début du vingtième siècle, la géométrie non-euclidienne a suscité l’intérêt d’artistes, tels que les Cubistes et notamment de Marcel Duchamp. Elle concerne aussi, le continuum de l’espace-temps (<-t) 3 d’Einstein. Ce continuum serait de courbure variable, à cause de la force gravitationnelle de la matière qui y est distribuée partout. L’existence d’espace courbe invalidait le système de la perspective linéaire qui dominait depuis la Renaissance et avait été controversée jusqu’à la fin du dix-neuvième siècle.

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3 Espace : dans « l’Univers chiffonné » de Jean-Pierre Luminet, 2005
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Également, pour les premiers artistes modernes les interprétations traditionnelles de l’objet pouvaient être modifiées par l’apparence des objets se déplaçant irrégulièrement dans un espace courbe. Des conséquences philosophiques ont suivi la naissance de ces nouvelles géométries. A la preuve de la faillibilité euclidienne pouvait s’ajouter le fait que l’homme ne pouvait découvrir qu’en utilisant les mathématiques ou les sciences.

Les paradoxes physiques autour des trous noirs, notamment l’Engosphère constituent une puissante métaphore du potentiel humain incomplètement réalisé.
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