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Les formes fractales dans la nature

Introduction : 2

I. La théorie des fractales 3

A. Origine de la théorie 3

1. Historique  3

2. La côte de Grande-Bretagne 3

B. Un objet fractal, qu'est-ce que c'est? 4

1. Introduction. 4

2. Les objets fractals 4

3. Calcul de la dimension fractale 5

4. Les méthodes de l'analyse fractale 6

C. Et dans la réalité ? 8

1. Universalité 8

2. Le rôle du hasard 8

3. La limite de l’invariance d’échelle 9

II. Les formes fractales en géologie 10

A. Les côtes rocheuses 10

1. Le caractère fractal des côtes 10

2. La dimension D 10

3. Applications 11

4. Comment une côte rocheuse acquiert-elle un caractère fractal ? 11

B. Montagnes 11

C. Nuages 12

D. Oxyde de manganèse 12

E. Réseaux fluviaux 13

III. Les formes fractales dans le monde vivant 14

A. Chez les végétaux 14

1. Le chou romanesco et le chou-fleur 14

2. Les fougères 15

3. L’origine des formes fractales végétales 15

4. Les L-systèmes 15

B. Les fractales dans les poumons 16

1. Introduction 16

2. Quelques généralités 16

3. La configuration des poumons 16

C. Coquillage et triangle de Sierpenski 18

Conclusion : 19

Annexes : 20

Bibliographie : 22


Introduction :


Quels points communs y a-t-il entre un arbre, des nuages, une côte rocheuse, nos poumons, et encore bien d’autres objets de la nature ?

Jusque dans les années 1970 personne ne soupçonnait qu’une universalité puisse exister entre toutes ces formes de la nature. Les scientifiques se limitaient à la géométrie euclidienne pour les étudier. Cependant, grâce à la découverte par B. Mandelbrot de la théorie fractale qui étudie les objets complexes, une nouvelle description de ces formes naturelles a pu être établie, description parfois plus pertinente que celle donnée par la géométrie traditionnelle. La géométrie fractale a donc montré les limites de la géométrie euclidienne pour décrire des objets complexes, elle a offert de nouvelles perspectives aux sciences et de nombreuses applications.

Le terme « fractale » vient du latin « fractus » qui désigne un objet fracturé, de forme très irrégulière. C’est Mandelbrot qui a introduit ce terme pour désigner ces fameux objets mathématiques. L’adjectif fractal prend son pluriel en -als : « fractals », de la même façon que « banal » et les six autres exceptions du français auxquelles il vient s’ajouter. Le nom est au féminin, évitant toute ambiguïté.

Mandelbrot a formalisé la théorie fractale et son vocabulaire, la théorie s’est vite avérée utile dans de nombreuses disciplines, notamment dans la compréhension de certains phénomènes naturels.

En effet, les objets mathématiques purs de la théorie fractale ont des correspondances étonnantes avec certains phénomènes géologiques naturels ainsi qu’avec le monde vivant.

Où trouve-t-on des formes fractales dans la nature et comment sont-elles apparues ? Les réponses à ces questions ont été le fruit de nombreuses recherches que nous tenterons de synthétiser.

I.La théorie des fractales



A.Origine de la théorie

1.Historique 



De nombreuses notions mathématiques ont d’abord été considérées comme des « monstres mathématiques », avant d’être domestiquées, offrant alors de nouvelles perspectives et de nombreuses découvertes. Il en a été ainsi chez les pythagoriciens avec l’apparition des nombres irrationnels, à la Renaissance avec celle des nombres négatifs et des nombres complexes, et au XIXème siècle avec l’exigence de rigueur de plus en plus poussée qui remit en cause beaucoup d’énoncés admis jusque là sans démonstration.

Les objets fractals, eux aussi, ont pendant longtemps été considérés comme des monstres, et le sont encore parfois aujourd’hui.

De 1875 à 1925, l’idée se répandit que les mathématiciens comme Cantor, Peano, Von Koch, Hausdorff étaient faiseurs d’objets pathologiques : ils créaient des objets que la nature ne connaissait pas, remettant en question la géométrie euclidienne et les notions de fonction et de dimension.

Un exemple de monstre est l’existence mathématique de courbes continues ayant de nombreux points sans dérivée. Ces monstres ne trouvèrent alors ni théorie ni application.

2.La côte de Grande-Bretagne



En 1961, Lewis Fry Richardson s’intéresse à la mesure empirique de la côte de Grande-Bretagne : comment mesurer, avec une bonne précision, la longueur d’une côte comme celle de la Grande-Bretagne ?

La méthode la plus approximative consiste à mesurer la distance entre les deux extrémités de la côte : cette approximation est sûrement inférieure à la distance réelle (qui tient compte de la complexité du relief).

Richardson comprend que la meilleure méthode semble être de définir un étalon, par exemple une barre de 1 m de longueur, et de parcourir la côte en reportant bout à bout la barre et d’en compter le nombre d’occurrences d’un point à l’autre entre lesquels on veut estimer la longueur de la côte. Si on utilise une barre 10 fois plus petite, elle pourra pénétrer plus précisément dans les recoins dessinés par la côte, la longueur mesurée sera alors plus précise, donc plus longue. Si l’on utilise une barre de 1 micron, on pourra alors contourner jusqu’aux moindres grains de sable et la mesure en sera d’autant plus précise. Ainsi, plus l’étalon utilisé est petit, plus la longueur mesurée est précise et longue, un segment infiniment petit donnerait une distance infiniment grande. Lewis Fry Richardson établit ainsi que la longueur d’une côte en fonction d’un étalon de longueur n est proportionnelle à n. La valeur de l’exposant  dépend de la côte choisie. Aux yeux de Richardson,  était sans signification particulière.
Dans les années 1970, c’est Benoît Mandelbrot, mathématicien français, qui donna un sens à  en le définissant comme D, la dimension fractale. Mandelbrot élabora la théorie fractale expliquant les monstres mathématiques des siècles précédents et ouvrant de nombreuses perspectives et applications. Cette dimension D permit entre autre de caractériser la complexité d’une côte ou de n’importe quel objet fractal, offrant un nouveau critère de comparaison plus pertinent que la longueur. La dimension fractale permettra de quantifier, de mesurer les formes, les géométries, mettant en valeur le caractère universel de ces formes.

La théorie trouva ensuite de nombreuses applications (et en trouvera probablement encore) en géologie, en biologie, en physique, mais aussi en design, photographie et cinématographie.
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