L’aérodynamique, dont l’étymologie évoque immédiatement l’action de l’air en mouvement, est la science qui étudie les différents aspects de cette action

http://www.chez.com/aerodynamique R.GOUGNOT 2002© AÉRODYNAMIQUE L’aérodynamique, dont l’étymologie évoque immédiatement l’action de l’air en mouvement, est la science qui étudie les différents aspects de cette action, notamment les forces, pressions et moments qui résultent du déplacement des corps dans l’atmosphère. L’aérodynamique intervient essentiellement dans la conception des avions et des missiles, dont elle définit les formes optimales, mais joue également un rôle d’importance variable dans le dessin de bateaux, voitures rapides, véhicules à coussins d’air, ainsi que dans la construction d’ouvrages fixes comme les ponts, tours, ou grands immeubles, dont elle détermine les réactions au vent. Sa naissance, comme science, peut être située au XVIIIe siècle, en Europe, où furent développées les théories (D. Bernoulli, 1738; L. Euler, 1755) qui faisaient suite à un empirisme séculaire. Mais ce n’est qu’un siècle plus tard que les lois fondamentales tenant compte des contraintes intérieures d’un milieu continu ont été formulées (M. Navier, 1827; S. D. Poisson, 1831; D. de Saint-Venant, 1843; G. G. Stokes, 1845). Devant l’impossibilité de résoudre ces équations extrêmement compliquées, les connaissances aérodynamiques n’ont pu se développer que grâce à l’introduction d’hypothèses simplificatrices, appuyées sur l’expérience. Les étapes les plus importantes de ces travaux théoriques et expérimentaux sont marquées, entre autres, par l’introduction des coefficients de similitude (E. Mach, 1889; O. Reynolds, 1883), des notions de fluide parfait et de couche limite (L. Prandtl, 1904) dans le cas des écoulements à des vitesses modérées. C’est également à la fin du XIXe siècle et au début du XXe que l’aérodynamique expérimentale a découvert les lois physiques, que les théoriciens ont eu à expliquer, concernant les phénomènes de la portance (N. I. Joukovski, 1904), de la traînée (W. Blasius, 1907), de la stabilité et du contrôle des avions subsoniques. L’accroissement de la vitesse, jusqu’à des valeurs supersoniques, a résulté des progrès de la technique, favorisés par le développement des connaissances aérodynamiques grâce d’abord aux balisticiens (Mach, 1887, P. H. Hugoniot, 1883). L’étude très difficile des écoulements transsoniques en est encore à un stade moins avancé, malgré les progrès intervenus récemment. La réalisation de missiles à très grande vitesse a provoqué de nouvelles recherches concernant les écoulements hypersoniques et l’effet des modifications physico-chimiques de l’air, liées aux températures élevées atteintes en vol. 1. Considérations théoriques Mise en équations du problème et approximations Mis à part quelques cas particuliers, comme celui de la très haute atmosphère, où les phénomènes dus à la raréfaction deviennent très importants, on peut considérer qu’un gaz est un milieu continu , dont le mouvement est décrit par les équations de Navier-Stokes (1 et 2). La première traduit la conservation de la masse totale et la deuxième celle de la quantité de mouvement. Les notations utilisées sont classiques: r  masse volumique, p  pression, u i  composante du vecteur vitesse u  sur x i , f i , composante sur x i  de l’accélération des forces de masse (pesanteur  ), t ik  tenseur des contraintes (3), l  et m  sont les deux coefficients de viscosité du gaz, fonctions de la température. À ces équations, il convient d’ajouter l’équation de l’énergie qui, en l’absence de réactions chimiques, s’écrit sous la forme (4). H  = h  + u 2/2 est l’enthalpie totale du fluide, somme de l’enthalpie massique h  et de l’énergie cinétique massique u 2/2, tandis que q j  désigne le flux de chaleur: où T  est la température et k  le coefficient de conduction thermique. Ce système doit enfin être complété par la loi d’état du gaz qui, pour l’air, est très complexe; pratiquement, on est amené à considérer plusieurs lois distinctes selon les valeurs des vitesses, températures et pressions, et selon l’importance de leurs variations au cours du mouvement: – Aux faibles vitesses (de 0 à 300 km/h), on peut en général considérer l’air comme un fluide homogène et incompressible, pour lequel: – Aux vitesses moyennes (de 300 à 2 000 km/h), les effets de la compressibilité deviennent importants, et l’air se comporte sensiblement comme un gaz parfait  pour lequel: – Enfin, aux très grandes vitesses, l’air s’écarte de plus en plus du gaz parfait. Ces effets dits de gaz réel , qui se traduisent en particulier par l’apparition de réactions chimiques et d’ionisation, seront étudiés dans le paragraphe «domaine hypersonique». À ces équations, on doit ajouter les conditions aux limites suivantes: – Écoulement donné à l’infini, en général uniforme. – Vitesse nulle sur le corps traduisant l’hypothèse de l’adhérence du fluide à la paroi. Le problème ainsi posé doit permettre d’accéder aux champs des vitesses, pressions, frottements, températures, etc. dans tout le fluide; en fait, d’un point de vue pratique, on cherche à déterminer ces grandeurs sur la paroi en vue d’en déduire notamment la trainée F x  et la portance F z  de l’obstacle, qui sont respectivement les composantes de la résultante aérodynamique , dans la direction de la vitesse d à l’infini et dans le plan perpendiculaire à d . D’autres grandeurs importantes sur le plan pratique sont les flux de chaleur  en tout point de la paroi et sa température  locale. Toutes ces grandeurs, comme pour d’autres disciplines de la physique, sont réduites en coefficients sans dimension . On définit ainsi les coefficients de traînée et de portance par les formules: où r d et U  d désignent respectivement la masse volumique et le module de la vitesse à l’infini amont, L 2 = S  étant une surface caractéristique du corps (telle que la surface de l’aile pour un avion). On définit de façon analogue divers coefficients de moment ainsi que des coefficients locaux tels que ceux de flux de chaleur, de pression K p et de frottement C f: où t f est la tension de frottement du fluide sur la paroi. La détermination de ces quantités est un problème mathématique très complexe, essentiellement par suite de la non-linéarité des équations du mouvement (1) à (4), dont on ne connaît que très peu de solutions analytiques exactes. Pratiquement, on est donc amené soit à utiliser des méthodes numériques souvent coûteuses (cf. chap. 3), soit à rechercher, par voie théorique, des solutions approchées: c’est ce que nous allons examiner ci-dessous. Première simplification: paramètres de similitude Lorsqu’on écrit les équations sous forme adimensionnelle en choisissant pour grandeurs de référence les conditions à l’infini, on voit apparaître plusieurs nombres sans dimension et on peut simplifier le problème si ces paramètres ont des valeurs très grandes ou très petites. Les principaux parmi ces paramètres de similitude  sont: – le nombre de Reynolds Re  = (r dU dL )/m d, – le nombre de Mach M  = U d/a d où a d désigne la vitesse du son à l’infini, – le nombre de Froude Fr  = U d/jL g  où g  = f i  désigne l’accélération de la pesanteur, – le nombre de Prandtl Pr  = (m dC p d)/k d. Dans les applications industrielles, notamment en aéronautique, le nombre de Reynolds Re  est souvent très grand, si bien que les effets dus à la viscosité sont négligeables en première approximation: c’est ce que l’on nomme l’approximation de fluide parfait.  En fait, cela reste vrai partout où il n’existe pas de gradients de vitesse trop importants; c’est le cas dans la majeure partie de l’écoulement, sauf au voisinage des parois ou dans les problèmes de mélange de jets, où la viscosité devient essentielle; c’est elle qui donne lieu en particulier au phénomène de couche limite  étudié ci-après. Le nombre de Froude est, lui aussi, très grand, si bien que, sauf dans des cas très particuliers comme l’étude des phénomènes météorologiques ou l’aérodynamique des ballons et dirigeables, les forces de pesanteur sont négligeables. Le nombre de Mach joue un rôle très important: – s’il est petit (inférieur à 0,3 pour fixer les idées), on peut considérer que le fluide est incompressible ; – s’il est inférieur à 1, on dit que l’on est dans le domaine subsonique , et les équations du mouvement de fluide parfait sont elliptiques; – s’il est voisin de 1, c’est le domaine transsonique , de type mixte, très difficile à étudier; – s’il est plus grand que 1, on se trouve dans le domaine supersonique , caractérisé par des équations hyperboliques et par l’apparition d’ondes de choc ; – enfin, s’il est très grand devant 1, on se trouve dans le domaine hypersonique  où de nouvelles approximations sont possibles, mais où l’apparition de réactions chimiques vient compliquer le problème. Seconde simplification: petites perturbations Un second type de simplification est dû au fait que, bien souvent, les corps que l’on considère perturbent peu l’écoulement: c’est le cas en particulier de l’aile mince ou du corps élancé. Il s’ensuit que l’on peut fréquemment linéariser l’écoulement autour d’un écoulement connu, et obtenir ainsi une excellente approximation des effets cherchés. Méthode générale d’étude et limitation Pratiquement, on cherche à construire une solution stationnaire , en commençant par négliger complètement les effets de la viscosité. Cette étude, en fluide parfait, permet de définir une première approximation du coefficient de portance C z  et du coefficient de traînée C x . Celui-ci apparaît ainsi comme la somme d’une «traînée induite» due à la portance, et, en écoulement supersonique, d’une «traînée d’onde». On corrige ensuite l’écoulement obtenu en tenant compte de la viscosité, ce qui conduit, en particulier, à la très importante théorie de la couche limite, qui permet le calcul de la traînée de frottement, et du flux de chaleur à la paroi. On voit en quoi cette méthode est critiquable: en effet, rien ne prouve que la solution ainsi définie soit stable  dans le temps, et, effectivement, elle ne l’est pas toujours; si tel est le cas, il y a deux possibilités: – ou bien il existe une autre solution, stationnaire, stable, au même problème; c’est ce qui se produit, par exemple, s’il y a décollement  de l’écoulement, c’est-à-dire lorsque les filets fluides provenant de l’infini amont contournent l’obstacle sans rester au contact de toute sa surface; l’étude du décollement est difficile et encore très incomplète, mais il existe des méthodes plus ou moins justifiées pour prévoir son apparition, en particulier grâce à la théorie de la couche limite; – ou bien il n’existe pas de solution stationnaire stable au problème: l’écoulement est alors complètement instationnaire, il génére des tourbillons de Karman en aval du bord de fuite cylindrique: de tels écoulements instationnaires sont à éviter au maximum dans le cas des avions ou des missiles, car ils entraînent en général des efforts importants et rapidement variables sur les structures; celles-ci n’étant jamais parfaitement rigides, il peut alors se produire un couplage entre leurs déformations et l’écoulement externe; c’est là l’origine du très grave phénomène de flottement aéroélastique.  Ces problèmes, très complexes, donnent lieu à l’heure actuelle à de nombreuses études, dont les plus prometteuses sont probablement les théories non linéaires de la stabilité. Mouvements stationnaires d’un fluide parfait Si on néglige complètement la viscosité (Re  = d), les équations de Navier-Stokes se simplifient considérablement pour donner les équations d’Euler caractérisant tous les mouvements de fluide parfait. Dans ce cas, on établit un certain nombre de propriétés mathématiques de ces équations dites «théorèmes généraux » (cf. Mécanique des FLUIDES), qui permettent d’affirmer, sous réserve qu’il n’y ait pas d’irréversibilités telles que des chocs dans l’écoulement, que celui-ci est irrotationnel et qu’il existe, par suite, un potentiel des vitesses f  tel que: Ce potentiel vérifie l’équation de Steichen: Domaine incompressible Pour de faibles nombres de Mach, on a vu que l’air pouvait être considéré comme incompressible. Il en résulte que l’équation de Steichen se réduit à l’équation de Laplace: On aboutit donc à une équation linéaire bien connue, pour laquelle on dispose de méthodes mathématiques de résolution classiques, même pour un corps de forme arbitraire. Parmi ces méthodes, on peut citer celle basée sur la théorie des distributions, qui permet de déterminer le potentiel f  par superposition de solutions élémentaires, qui sont des sources ou tourbillons généralement distribués de façon convenable sur la surface limitant l’obstacle ou à l’intérieur même de celui-ci. Le potentiel f , donc les vitesses, étant déterminé, on obtient ensuite le champ des pressions et, par conséquent, les efforts sur le corps par l’intégrale de Bernoulli: Dans le cas des écoulements bidimensionnels, on peut utiliser une méthode basée sur la considération du potentiel complexe f  défini par: où q  désigne la fonction de courant: Partant d’un écoulement connu exactement, tel que l’écoulement autour d’un cercle, on effectue alors des transformations conformes , qui ont pour effet de transformer le cercle en un autre corps et de fournir ainsi la solution exacte de l’écoulement autour de ce nouveau corps. Cette méthode permet en particulier de définir et d’étudier un très grand nombre de profils d’ailes, tels que les profils Joukovski ou Karman-Trefftz, pour lesquels toutes les propriétés aérodynamiques peuvent être obtenues sous forme analytique exacte. Une autre méthode extrêmement intéressante est l’utilisation de l’analogie électrique , décrite plus loin, et qui utilise le fait que le potentiel électrique vérifie également l’équation de Laplace: par de simples mesures de potentiel, on est ainsi capable de définir tout le champ de l’écoulement. Remarquons cependant qu’on se heurte à une importante difficulté dans la résolution de l’équation de Laplace avec les conditions limites imposées, car il n’y a pas unicité de la solution: pour lever cette indétermination, on est conduit à appliquer la «condition de Joukovski», qui impose de conserver des vitesses finies au bord de fuite du profil, ce qui revient à dire que la ligne de séparation entre les écoulements intrados et extrados est issue du bord de fuite. Cette condition impose ainsi une circulation G  de la vitesse, autour du profil, non nulle, et la portance est directement proportionnelle à cette circulation en vertu du théorème de d’Alembert. Cependant, dans le cadre de la théorie du fluide parfait, il est impossible d’expliquer la provenance de cette circulation et c’est, en fait, la viscosité, aussi faible soit-elle, qui permet l’établissement de la circulation nécessaire à la portance. L’utilisation de la méthode des petites perturbations permet d’autre part de traiter de façon approchée, mais très simple, les écoulements autour des profils minces et des corps élancés de forme arbitraire et d’aboutir là aussi à des formules analytiques. De toutes ces méthodes, il ressort que l’on est capable d’évaluer le coefficient de pression locale sur le corps, d’où le coefficient de portance C z  qui, en première approximation, est proportionnel à l’incidence; on aboutit toujours à un coefficient de traînée C x  nul, ce qui est conforme au «paradoxe de d’Alembert», mais physiquement inadmissible. Cette difficulté se trouve levée dans la théorie tridimensionnelle de la ligne portante, ou théorie de Prandtl, basée sur le fait que l’écoulement n’est pas partout irrotationnel: il existe un sillage tourbillonnaire que l’on peut assimiler, en première approximation, à une surface de discontinuité de vitesse et qui s’étend depuis l’aile jusqu’à l’infini aval; cette théorie, qui fait appel à la présence de tourbillons, a eu un très gros succès, car elle a permis d’expliquer la présence d’une traînée induite par la portance et donnée par la formule: Il apparaît ainsi que la traînée induite est inversement proportionnelle à l’allongement l de l’aile, que l’on a donc intérêt à augmenter, et que la polaire de l’aile, c’est-à-dire la courbe C x  = f  (C z ), est une parabole, ce qui est assez bien confirmé expérimentalement lorsqu’on néglige les effets de la viscosité.

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