Cours de Bases de données








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VI.ALGEBRE RELATIONNELLE



On peut la définir en six opérations de base dont certaines sont unaires, d'autres sont binaires :


  1. Projection

  2. Sélection

  3. Union

  4. Différence

  5. Produit cartésien

  6. Renommage

2.1) Projection



Notation :  A1 ,...,Ak (r) où r est le nom de relation et 1  i k Ai  Att(r).
Le résultat de cette opération est une relation avec k colonnes

Exemple de projection :



On veut extraire les noms des employés de la relation «Emp» ci-dessous :


Emp

Nom

Num_Cte

Rue




Dupont

124

Neuve




Dupont

235

Neuve




Durand

123

Vieille


 Nom (Emp) = Dupont, Durand

2.2) Sélection



Notation : Cond (r) où r est le nom d'une relation et Cond est une condition de la forme


  1. Atti  Attj ou Atti  constante avec   {< ,  , =,  , >,  }, ou bien

  2. une conjonction () ou une disjonction (V) de conditions


Le résultat est une relation qui contient tous les n-uplets de r qui satisfont la condition Cond

Exemple de sélection :


On veut avoir les informations concernant les employés dont le nom est Dupont


Emp

Nom

Num_Cte

Rue




Dupont

124

Neuve




Dupont

235

Neuve




Durand

123

Vieille


(Nom=Dupont) =

Nom

Num_Cte

Rue

Dupont

124

Neuve

Dupont

235

Neuve



2.3) Union, Différence et Intersection





  • Opérations ensemblistes classiques

  • Notation : r U s; r - s; r s

  • r U s = {t | t  r ou t s}

  • r - s = {t | t r et t  s}

  • r  s = {t | t r et t s}

  • Opérations binaires

  • Il faut que Att(r) = Att(s)




r

A

B

s

A

B






1






2






2






3






1













r - s =

A

B

r  s =

A

B

r  s =

A

B






1






1






2






1






2
























1
























3












2.4) Produit cartésien



Notation : r x s avec r x s = { tv | t  r et v  s }

Où tv est la concaténation des tuples t et v.

Cette opération n'est pas définie si Att(r) Att(s)  0.

Att(r x s) = Att(r) U Att(s)

Exemple de Produit cartésien :





r

A

B

s

C

D

E






1






10

+






2






10

-




r x s

A

B

C

D

E






1



10

+






1



10

-






2



10

+






2



10

-

2.5) Renommage



Notation :  Atti  Att'i (r) .

Ceci permet de renommer l'attribut Atti par Att’i.

Le résultat est la relation r avec un nouveau schéma

Exemple de Renommage :





r

A




10




20




AB (r) =

r

B







10







20



2.6) Composition des opérateurs



On peut appliquer un opérateur de l'algèbre au résultat d'une autre opération.

Exemple : A ( B=20(r)). On dit que l'algèbre relationnelle est un langage fermé car chaque opération prend une ou deux relations et retourne une relation.

Soient les schémas de relation Tit(Id, Nom, Adresse) et Cte(Num, Solde, Id_Tit). Le compte de numéro Num appartient au client identifié par Id_Tit. On veut avoir (1) le numéro, (2) le solde et (3) le nom du titulaire de chaque compte débiteur.
Tit Cte

Id

Nom

Adresse




Num

Solde

Id_Tit

A25

Dupont

Rue neuve




120

25234.24

A25

B212

Durand

Rue vieille




135

-100

A25













275

230

B212


1. Cte x Tit retourne une relation qui associe à chaque tuple de Cte, tous les tuples de Tit.

2.  Id=Id_Tit (Cte x Tit) élimine les tuples où le compte n'est pas associé au bon titulaire.

3  So1de < 0 ( Id=Id_Tit(Cte x Tit)) retient les comptes débiteurs

4.  Nom, Num, Solde (Solde<0 ( Id=Id_Tit (Cte x Tit))) élimine les attributs non demandés
Comment aurait-on pu faire si dans Cte on avait Id au lieu de Id_Tit comme nom d'attribut ?

2.7) Jointure



Notation : r ixi s Att(r ixi s) = Att(r) U Att(s)

Résultat : Soient tr  r et ts  s. trts r ixi s SSI A  Att(r) Att(s) tr.A = ts.A

Exemple de Jointure


r

A

B

s

B

C






10




10

+






15




1

-






1













r ixi s =

A

B

C






10

+






1

-




  • Noter que le même résultat peut être obtenu comme suit

1. temp1 := BB1(s)

2. temp2 := r x temp1

3. temp3 :=  B=B1 (temp2)

4. res :=  A,B,C(temp3)

  • La jointure n'est pas une opération de base de l'algèbre relationnelle
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