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![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() nombre dÉrivÉ : ![]()
Benjamin Migliore, jeune designer franco-argentin est l’auteur de cette création baptisée Straight Curve. Il déclare : « Le concept de cette lampe de plafond est de former des courbes à partir de segments droits. Cette lampe est dotée d’une structure composée de 42 lattes de bois de pin blanc de 20×20mm d’épaisseur. » Questions : www.blog-espritdesign.com Expliquer pourquoi on peut dire qu’en mathématiques toute courbe est composée de droites : …………………………………………………………………………… ![]() …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
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…………………………………………………………………………… Une seconde création www.blog-espritdesign.com …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
f (x) = x2 – 2x + 1 g(x) = 2x – 3
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B1 = ……………………………………. C1 = ……………………………………
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……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… activité 1
A La droite qui approche au mieux la courbe représentative d’une fonction au voisinage d’un point A est appelé tangente à la courbe au point A. C’est la meilleure approximation affine de la fonction au voisinage du point. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. ………………………………………………………………….
f ’(1) = ……………………
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Soit f une fonction dont la courbe représentative admet une tangente au point A d’abscisse x A. Le coefficient directeur de cette tangente est appelé nombre dérivé de f en xA et il est noté f ’(xA) (on dit « f prime de xA »). ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. Exemple : ![]() On a tracé les représentations graphiques des fonctions f et g d’expression algébrique : f (x) = x2 – 2x + 1 et g(x) = 2x – 3 tangente à f au point A d’abscisse 2.
Pour lire le coefficient directeur : on « avance » de + 1 en abscisses, on varie alors du coefficient directeur (ici + 2) suivant l’axe des ordonnées.
On ne peut pas toujours « lire » la valeur du coefficient directeur d’une tangente en A mais on peut toujours trouver les coordonnées de deux de ces points B et C. ![]()
f ’(xA) =
Coordonnées de B : B (….. ; …..) Coordonnées de C : C (….. ; …..) Calcul du coefficient directeur : f ’(xA) = = ………………………………………..
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On veut déterminer l’expression algébrique t (x) de la tangente (BC) de la représentation ci-contre : On sait que :
t (x) = ………………………..
a = f ’(1) = ……………………..
b = …………………….. Donc t (x) = ……… x + ……. t (x) = …………………… .
La relation ci-dessous est appelée équation réduite de la tangente. …………………………………………………………………………….……………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….……………………. t(x) = f ’(xA) (x – xA) + f (xA) nombre dérivé en A coordonnées de A Elle permet de déterminer directement l’expression algébrique t(x) de la tangente à f en A. ![]() Le nombre t(x) donne la valeur approchée par approximation affine de f (x). ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………. Exemple : La fonction f représentée ci-contre est la fonction racine. Déterminons l’équation réduite de la tangente à f en A.
f ’(xA) = ………..
t(x) = …..… (x – ………) + ……… = …..…x + ……………………………………………………. soit t(x) = …..… x + ……
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Fonction carré Fonction inverse ![]() Fonction racine ……………………………………………… …………………………………………… ……………………………………… ……………………………………………… …………………………………………… ………………………………………
www.dynamic-land.com Situation : courbes ![]() Pour construire un toboggan gonflable à installer aux abords d’un plan d’eau, les mesures de sécurité imposent que ni creux ni bosse ne viennent perturber la glissade des enfants. Le toboggan ci-contre mesure 5 m de haut pour 7 m de long. Le début et la fin de la pente sont modélisés par des arcs de parabole d’expression algébrique :
et d’un segment de droite [AB] qui relie les deux arcs de parabole. Problématique : Comment vérifier que les conditions de sécurité sont bien respectées ? Questions :
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Situation : courbes ![]() Une société propose un kit de maison écologique en bois en forme de dôme. Pour placer les fenêtres harmonieusement, les architectes ont décidé que leur pente doit être la moyenne des pentes en haut et en bas de celle-ci. La forme du dôme est donnée par la fonction f d’équation : f (x) = - 0,1x2 + 5 ©novate.ru Problématique : La méthode des architectes est-elle nécessaire ? ![]() Questions : Les fenêtres sont placées entre deux points A et B situés respectivement à 3 et 4 m de l’axe de la maison comme le montre la représentation ci-contre :
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Situation : ![]() Le winglet est un dispositif placé en bout d’aile d’avion pour diminuer les turbulences en vol. Il doit être raccordé en bout d’aile sans qu’il n’y ait de point anguleux. www.aviationpartners.com Pour un modèle réduit, on modélise le profil du winglet par la fonction f définie pour 0,5 ≤ x ≤ 5 par : f (x) = . ![]() Le bout d’aile auquel il est raccordé est modélisé par une fonction affine définie pour x ≥ 5. Ces deux fonctions sont représentées dans le repère ci-contre : Problématique : Quelle est l’expression algébrique de la fonction modélisant l’aile ? Questions :
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![]() | «Qu'est-ce qu'un auteur ?», Bulletin de la Société française de philosophie, 63e année, no 3, juillet-septembre 1969, pp. 73-104 | ![]() | «gothiques». Les idées italiennes les plus novatrices et les formes françaises les plus «nationales» se trouvent ainsi associées,... |
![]() | «La maman des poissons» à Pézenas a dû être annulée car l’auteur que devaient rencontrer les élèves était malade. Une «visioconférence»... | ![]() | «crime» dont les Juifs seraient coupables (aidez-vous du texte de l'introduction p. 108) ? Quelle est cette «dispersion» auquel l'auteur... |
![]() | «Cercle de l’Harmonie», sur instruments anciens, pour le tout jeune Jérémie Rhorer | ![]() | «Beffrois de la création». IL s’agit de valoriser la production des architectes, des urbanistes et des paysagistes dans la variété... |
![]() | «Bordel, Reka», bredouilla le jeune homme, furieux et encore mal réveillé. «Qu’est-ce qui te prend ?» | ![]() | «La fête n’est pas signe de bonne santé, mais expression d’un malaise et c’est cette fête rupture, cette fête violence, cette fête... |
![]() | ![]() | «avec projection», de cette thèse aux membres du Conseil scientifique et à leurs expliquer pourquoi cette thèse ne méritait pas d’être... |